Aula 356 — Posições relativas entre retas no espaço
50 minObjetivo geral
Classificar duas retas no espaço como concorrentes, paralelas ou reversas, reconhecendo que "não se cruzar" não é sinônimo de "ser paralela".
Objetivos específicos
- Definir retas concorrentes (um único ponto em comum, coplanares).
- Definir retas paralelas (nenhum ponto em comum, coplanares).
- Definir retas reversas (nenhum ponto em comum, NÃO coplanares).
- Classificar pares de retas dados exemplos concretos (arestas de um cubo, por exemplo).
Conhecimentos prévios
- Pontos, retas e planos no espaço, Aula 355.
- Retas paralelas no plano, Módulo 22, Aula 331.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula356_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular os sólidos em 3D.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: duas retas que nunca se cruzam são sempre paralelas?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoMostrar num cubo (com o GeoGebra 3D) uma aresta da base e uma aresta vertical do lado oposto — elas não se cruzam. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que "não se cruzar" é sinônimo de "ser paralela" — no espaço (diferente do plano) existe um terceiro caso, retas reversas, que não se cruzam e também NÃO são paralelas, por não estarem no mesmo plano.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: duas retas no espaço podem ser concorrentes (um ponto comum, coplanares), paralelas (nenhum ponto comum, coplanares) ou reversas (nenhum ponto comum, não coplanares — não existe um único plano que contenha as duas). Resolvendo a pergunta do Momento 2: a aresta da base e a aresta vertical oposta do cubo são reversas — não se cruzam e não são paralelas, pois não há um plano comum contendo as duas.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: no cubo ABCDEFGH (base ABCD, topo EFGH), classificar AB e EF (paralelas, ambas horizontais e coplanares com a face ABFE). Em duplas: classificar AB e CG (aresta da base e aresta vertical do vértice oposto — reversas).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: retas que não se cruzam podem ser paralelas (coplanares) OU reversas (não coplanares) — o critério decisivo é existir ou não um plano comum contendo as duas.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. O que diferencia retas paralelas de retas reversas, já que nenhuma das duas se cruza?
Gabarito: Retas paralelas são coplanares (existe um plano comum); retas reversas não são coplanares (não existe um plano comum contendo as duas).
2. Duas retas concorrentes são sempre coplanares?
Gabarito: Sim — duas retas concorrentes sempre determinam um único plano que as contém.
3. No cubo ABCDEFGH, classifique AB e CD (arestas opostas da base).
Gabarito: Paralelas (ambas na base ABCD, sem ponto comum).
4. No cubo ABCDEFGH, classifique AB e DH (aresta da base e aresta vertical do vértice não adjacente).
Gabarito: Reversas (não se cruzam e não são coplanares).
5. Encontre o erro: "como AB e CG não se cruzam, elas são paralelas."
Gabarito: Errado: AB e CG não se cruzam, mas não são coplanares — são reversas, não paralelas.