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Aula 373 — Área da esfera

50 min
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Objetivo geral

Calcular a área da superfície esférica usando A = 4πr2, reconhecendo o fator 4 em relação à área do grande círculo.

Objetivos específicos

  • Enunciar a fórmula da área da superfície esférica: A = 4πr2.
  • Reconhecer que a área da esfera é exatamente 4 vezes a área do seu grande círculo (πr2).
  • Calcular a área da superfície esférica dado o raio.
  • Calcular o raio de uma esfera dada sua área de superfície.

Conhecimentos prévios

  • Esferas, Aula 372.
  • Área do círculo, Módulo 22, Aula 353.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula373_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular os sólidos em 3D.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: a área da superfície de uma esfera é quantas vezes a área do seu grande círculo (mesmo raio)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro uma esfera de raio 3 e propor estimar quantos "grandes círculos" de raio 3 caberiam, em área, na superfície toda da esfera. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): chutar um número "razoável" (2 ou 3) por intuição visual, sem usar a fórmula — a resposta exata é 4, um resultado que só a fórmula A=4πr2 revela com precisão, não uma estimativa visual.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: A=4πr2 — a área da superfície esférica é exatamente 4 vezes a área do grande círculo de mesmo raio (πr2). Resolvendo a pergunta do Momento 2: exatamente 4 vezes — para raio 3, o grande círculo tem área 9π e a esfera toda tem área 4×9π=36π.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: para uma esfera de raio 3, calcular coletivamente A=4π×32=36π. Em duplas: dado que uma esfera tem área de superfície 100π, calcular o raio (4πr2=100π, r2=25, r=5).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: exatamente 4 vezes — a área da esfera (4πr2) é sempre 4 vezes a área do grande círculo (πr2), um fator fixo que vale para qualquer raio.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva a fórmula da área da superfície esférica.

Gabarito: A = 4πr2.

2. Calcule a área da superfície de uma esfera de raio 3.

Gabarito: A=4π×9=36π.

3. Uma esfera tem área de superfície 100π. Qual o seu raio?

Gabarito: 4πr2=100π, r2=25, r=5.

4. Quantas vezes a área da esfera é maior que a área do seu grande círculo?

Gabarito: Exatamente 4 vezes.

5. Encontre o erro: "a área da esfera é o dobro da área do grande círculo."

Gabarito: Errado: a área da esfera é exatamente 4 vezes a área do grande círculo (A=4πr2, contra πr2 do círculo), não o dobro.

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