Aula 375 — Inscrição e circunscrição de sólidos
50 minObjetivo geral
Relacionar as dimensões de um sólido inscrito numa esfera usando a diagonal do sólido como diâmetro da esfera circunscrita.
Objetivos específicos
- Definir sólido inscrito numa esfera (todos os vértices do sólido tocam a superfície esférica).
- Reconhecer que, num cubo inscrito numa esfera, a diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera.
- Calcular o raio da esfera circunscrita a um cubo de aresta conhecida.
- Reconhecer, de forma qualitativa, a inscrição de cilindro e cone numa esfera (bases tocando a superfície).
Conhecimentos prévios
- Teorema de Pitágoras, Módulo 22, Aula 341.
- Esferas, Aula 372.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula375_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular os sólidos em 3D.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para um cubo inscrito numa esfera (todos os 8 vértices tocando a superfície), o que vira o diâmetro da esfera — a aresta do cubo ou outra medida?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoMostrar no GeoGebra 3D um cubo inscrito numa esfera, destacando a aresta do cubo e, separadamente, a diagonal do cubo (de um vértice ao vértice oposto, passando pelo interior). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a ARESTA do cubo é o diâmetro da esfera — na verdade é a DIAGONAL do cubo (do vértice a seu oposto), que passa exatamente pelo centro da esfera, ligando dois pontos da superfície.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: num cubo de aresta a inscrito numa esfera, a diagonal do cubo (d=a√3, usando duas aplicações do Teorema de Pitágoras: primeiro na face, depois no espaço) é igual ao diâmetro da esfera circunscrita (2r). Resolvendo a pergunta do Momento 2: a diagonal do cubo — ela liga dois vértices opostos passando pelo centro da esfera, sendo por isso o diâmetro, enquanto a aresta liga só dois vértices vizinhos, bem mais curta.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para um cubo de aresta 2 inscrito numa esfera, calcular coletivamente a diagonal d=2√3≈3,46 e o raio da esfera r=d/2=√3≈1,73. Em duplas: discutir qualitativamente como um cilindro inscrito numa esfera tem as duas bases circulares tocando a superfície esférica (sem calcular numericamente).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: a diagonal do cubo — ela conecta dois vértices opostos passando pelo centro da esfera, sendo o diâmetro; a aresta (bem menor) não passa pelo centro.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Num cubo de aresta a, qual a fórmula da diagonal do cubo (vértice a vértice oposto)?
Gabarito: d = a√3.
2. Calcule a diagonal de um cubo de aresta 2.
Gabarito: d=2√3 (≈3,46).
3. Qual o raio da esfera circunscrita a esse cubo de aresta 2?
Gabarito: r=d/2=√3 (≈1,73).
4. Por que a diagonal do cubo (e não a aresta) é igual ao diâmetro da esfera circunscrita?
Gabarito: Porque a diagonal liga dois vértices opostos passando pelo centro da esfera, enquanto a aresta liga vértices vizinhos, sem passar pelo centro.
5. Encontre o erro: "num cubo inscrito numa esfera, a aresta do cubo é o diâmetro da esfera."
Gabarito: Errado: é a DIAGONAL do cubo (a√3), não a aresta, que é igual ao diâmetro da esfera circunscrita.