Aula 411 — Vetor unitário
50 minObjetivo geral
Calcular o vetor unitário (versor) na direção de um vetor dado, reconhecendo que normalizar não muda a direção nem o sentido.
Objetivos específicos
- Definir vetor unitário (versor): vetor de módulo 1.
- Calcular o versor de v dividindo v pelo seu próprio módulo: v̂=v/|v|.
- Reconhecer que o versor de v tem a MESMA direção e sentido de v, só o módulo muda para 1.
- Usar versores para expressar um vetor como módulo × direção (v=|v|·v̂).
Conhecimentos prévios
- Módulo de um vetor, Aula 410.
- Multiplicação de vetor por escalar, Aula 408.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula411_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular vetores.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: ao "normalizar" um vetor (transformá-lo em unitário), a direção dele muda?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever v=(3,4) no quadro e perguntar o que muda ao dividir por seu próprio módulo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que normalizar um vetor (dividir pelo módulo) pode alterar sua direção ou sentido — dividir por um número POSITIVO (o módulo, sempre ≥0) é multiplicar por um escalar positivo, que preserva direção e sentido; só o módulo é reescalado para 1.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o versor de v é v̂=v/|v|, um vetor de módulo exatamente 1, na MESMA direção e sentido de v (dividir pelo módulo, um número positivo, não inverte nada). Qualquer vetor pode ser escrito como v=|v|·v̂ (módulo vezes direção). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a direção e o sentido continuam os mesmos; só o módulo é reescalado para 1.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para v=(3,4) (módulo 5), calcular coletivamente v̂=(3/5,4/5) e confirmar que |v̂|=1. Em duplas: para w=(0,5) (módulo 5), calcular ŵ=(0,1).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — normalizar preserva direção e sentido; só reescala o módulo para 1, dividindo por um número sempre positivo.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. O que é o vetor unitário (versor) de v?
Gabarito: Um vetor de módulo 1, na mesma direção e sentido de v: v̂=v/|v|.
2. Calcule o versor de v=(3,4).
Gabarito: |v|=5; v̂=(3/5,4/5).
3. Confirme que |v̂|=1 para o resultado anterior.
Gabarito: √(0,62+0,82)=√(0,36+0,64)=√1=1.
4. Como escrever v como módulo vezes direção, usando o versor?
Gabarito: v = |v| · v̂.
5. Encontre o erro: "ao normalizar um vetor, sua direção pode mudar."
Gabarito: Errado: dividir pelo módulo (sempre positivo) preserva direção e sentido — só o módulo muda para 1.