Aula 413 — Ângulo entre vetores
50 minObjetivo geral
Calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar, reconhecendo que um produto escalar negativo indica ângulo obtuso.
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula: cos(θ) = (u·v)/(|u|·|v|), onde θ é o ângulo entre u e v.
- Calcular o ângulo entre dois vetores dados em coordenadas.
- Reconhecer que u·v>0 indica ângulo agudo, u·v=0 indica ângulo reto, e u·v<0 indica ângulo obtuso.
- Interpretar um produto escalar negativo como informação válida (ângulo obtuso), não como erro de cálculo.
Conhecimentos prévios
- Produto escalar, Aula 412.
- Valores notáveis de seno, cosseno e tangente, Módulo 24, Aula 380.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula413_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular vetores.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se o produto escalar de dois vetores der um número negativo, isso significa que houve um erro de cálculo?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoCalcular u·v para u=(1,0) e v=(-1,1), obtendo um valor negativo, e perguntar se algo deu errado. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que um resultado negativo no produto escalar é sinal de erro — na verdade é informação válida: u·v<0 significa que o ÂNGULO entre os vetores é OBTUSO (maior que 90°), não um erro de cálculo.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: cos(θ)=(u·v)/(|u|·|v|) permite calcular o ângulo θ entre u e v. Como |u| e |v| são sempre positivos, o SINAL de cos(θ) (e portanto de θ ser agudo ou obtuso) é decidido pelo sinal de u·v: positivo→agudo, zero→reto, negativo→obtuso. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não é erro — u·v=(1)(-1)+(0)(1)=-1<0 significa que o ângulo entre u e v é obtuso, uma informação geométrica válida.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente o ângulo entre u=(1,0) e v=(1,1): cos(θ)=(1)/(1×√2)=√2/2, θ=45° (agudo, produto escalar positivo). Em duplas: calcular o ângulo entre u=(1,0) e v=(-1,1): cos(θ)=(-1)/(1×√2)=-√2/2, θ=135° (obtuso, produto escalar negativo).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não é erro — produto escalar negativo é informação válida, indicando que o ângulo entre os vetores é obtuso (maior que 90°).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.
Gabarito: cos(θ) = (u·v)/(|u|·|v|).
2. Se u·v>0, o ângulo entre u e v é agudo, reto ou obtuso?
Gabarito: Agudo.
3. Se u·v<0, o ângulo entre u e v é agudo, reto ou obtuso?
Gabarito: Obtuso.
4. Calcule o ângulo entre u=(1,0) e v=(1,1).
Gabarito: cos(θ)=1/√2=√2/2; θ=45°.
5. Encontre o erro: "um produto escalar negativo significa que houve um erro no cálculo."
Gabarito: Errado: produto escalar negativo é informação geométrica válida — indica que o ângulo entre os vetores é obtuso.