Aula 418 — Produto misto
50 minObjetivo geral
Calcular o produto misto entre três vetores, reconhecendo que trocar dois vetores de posição troca o sinal do resultado.
Objetivos específicos
- Definir o produto misto: (u,v,w) = u·(v×w), um número (escalar).
- Calcular o produto misto usando o determinante 3×3 formado pelas componentes dos três vetores.
- Reconhecer que trocar a posição de dois dos três vetores troca o SINAL do produto misto, mas não seu valor absoluto.
- Reconhecer que o produto misto é zero se, e somente se, os três vetores forem coplanares.
Conhecimentos prévios
- Produto vetorial, Aula 416.
- Produto escalar, Aula 412.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula418_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular vetores.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a ordem dos três vetores no produto misto importa, ou dá sempre o mesmo resultado?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever (u,v,w) e (v,u,w) no quadro (troca de u e v) e perguntar se são iguais. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a ordem dos vetores no produto misto não importa, por analogia com operações comutativas já vistas — trocar a posição de DOIS vetores troca o SINAL do produto misto (herdado da anticomutatividade do produto vetorial), embora o valor absoluto permaneça o mesmo.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o produto misto (u,v,w)=u·(v×w) é um número, calculável pelo determinante 3×3 das componentes dos três vetores. Trocar dois vetores de posição troca o sinal do resultado: (u,v,w)=-(v,u,w). O produto misto é zero se, e somente se, u, v, w forem coplanares (não formam um paralelepípedo de verdade). Resolvendo a pergunta do Momento 2: a ordem importa para o SINAL — trocar dois vetores troca o sinal, mas o valor absoluto (o "tamanho") permanece igual.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente o produto misto de u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(0,0,1) (=1, o volume do cubo unitário). Em duplas: calcular (v,u,w) trocando a ordem de u e v (deve dar -1).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: a ordem importa para o sinal — trocar dois vetores troca o sinal do produto misto, mas o valor absoluto não muda.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a definição do produto misto (u,v,w).
Gabarito: (u,v,w) = u·(v×w), um número escalar.
2. O que acontece ao trocar a posição de dois vetores no produto misto?
Gabarito: O sinal do resultado troca, mas o valor absoluto permanece o mesmo.
3. Calcule o produto misto de u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(0,0,1).
Gabarito: (u,v,w) = 1 (volume do cubo unitário).
4. Quando o produto misto de três vetores é zero?
Gabarito: Quando os três vetores são coplanares (não formam um paralelepípedo de volume real).
5. Encontre o erro: "a ordem dos vetores no produto misto não importa, o resultado é sempre o mesmo."
Gabarito: Errado: trocar dois vetores de posição troca o SINAL do produto misto, mesmo que o valor absoluto permaneça igual.