Aula 450 — Equação vetorial da reta no espaço
50 minObjetivo geral
Escrever a equação vetorial de uma reta no espaço, diferenciando o ponto de referência do vetor diretor.
Objetivos específicos
- Enunciar a equação vetorial: (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t·(a,b,c), t real.
- Identificar o ponto de referência P0=(x0,y0,z0) (um ponto QUALQUER da reta) e o vetor diretor (a,b,c) (a direção).
- Reconhecer que o vetor diretor NÃO precisa ser um ponto da reta — ele indica só a direção.
- Verificar se um ponto pertence a uma reta, testando se existe um t que o gera.
Conhecimentos prévios
- Equação vetorial da reta, Módulo 25 (conceito de vetor).
- Colinearidade de vetores, Módulo 25, Aula 409.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula450_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar pontos, retas e planos no espaço.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: numa equação vetorial (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,1,-1), o ponto (2,1,-1) pertence à reta?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever a equação no quadro e perguntar se o vetor diretor (2,1,-1) é, ele mesmo, um ponto da reta. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir o vetor diretor com um ponto da reta — o vetor diretor (2,1,-1) indica só a DIREÇÃO da reta, não é necessariamente um ponto sobre ela; só o ponto de referência (1,2,3) (com t=0) é garantidamente um ponto da reta, a menos que uma coincidência aconteça.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: (x,y,z)=P0+t·v, onde P0=(x0,y0,z0) é um ponto conhecido da reta e v=(a,b,c) é o vetor diretor (só a direção, não necessariamente um ponto). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não necessariamente — o vetor diretor é uma direção, não um ponto da reta (a menos que, por coincidência, exista um t que o gere).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para a reta (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,1,-1), calcular coletivamente o ponto para t=2: (1+4,2+2,3-2)=(5,4,1). Em duplas: verificar se (3,3,2) pertence à reta (resolver 1+2t=3 → t=1; conferir y: 2+1=3 ✓; conferir z: 3-1=2 ✓ — pertence).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não necessariamente — o vetor diretor indica só a direção da reta, não é garantidamente um ponto sobre ela.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a forma geral da equação vetorial de uma reta no espaço.
Gabarito: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t·(a,b,c), t real.
2. O que representa (x0,y0,z0) na equação vetorial?
Gabarito: Um ponto conhecido, qualquer, pertencente à reta.
3. O que representa (a,b,c) na equação vetorial?
Gabarito: O vetor diretor — só a direção da reta, não necessariamente um ponto sobre ela.
4. Para (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,1,-1), calcule o ponto em t=2.
Gabarito: (1+4, 2+2, 3-2) = (5,4,1).
5. Encontre o erro: "o vetor diretor de uma reta é sempre um ponto pertencente a ela."
Gabarito: Errado: o vetor diretor indica só a direção, não é necessariamente um ponto da reta.