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Aula 452 — Equação simétrica da reta

50 min
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Objetivo geral

Escrever a equação simétrica de uma reta no espaço, reconhecendo a condição de existência (nenhuma componente diretora nula).

Objetivos específicos

  • Escrever a equação simétrica: (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c.
  • Deduzir a forma simétrica isolando t nas três equações paramétricas e igualando.
  • Reconhecer que a forma simétrica exige a, b, c todos DIFERENTES de zero.
  • Lidar com o caso especial em que uma componente diretora é zero (a coordenada correspondente fica constante, fora da cadeia de igualdades).

Conhecimentos prévios

  • Equações paramétricas da reta, Aula 451.
  • Equação reduzida da reta, Módulo 26, Aula 426.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula452_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra 3D Calculator, para visualizar pontos, retas e planos no espaço.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: toda reta no espaço pode ser escrita na forma simétrica (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever uma reta com vetor diretor (2,0,3) (componente b=0) e propor escrever a forma simétrica direto. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar escrever (y-y0)/0 quando uma componente do vetor diretor é zero — divisão por zero não é definida; quando uma componente é nula, essa coordenada fica CONSTANTE (y=y0), separada da cadeia de igualdades das outras duas.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: isolando t nas três paramétricas e igualando, obtém-se (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c — mas isso exige a,b,c≠0. Quando alguma componente é zero (ex. b=0), a coordenada correspondente é simplesmente y=y0 (constante), e a cadeia de igualdades fica só entre as outras duas. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — com b=0, escreve-se y=y0 separadamente, e a cadeia simétrica fica só (x-x0)/a=(z-z0)/c.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: para P0=(1,2,3), v=(2,4,6), escrever coletivamente a forma simétrica: (x-1)/2=(y-2)/4=(z-3)/6. Em duplas: para P0=(1,2,3), v=(2,0,3) (b=0), escrever a forma correta: y=2, (x-1)/2=(z-3)/3.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — quando uma componente do vetor diretor é zero, essa coordenada fica constante, separada da cadeia simétrica das outras duas.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva a forma simétrica de uma reta com P0=(x0,y0,z0) e v=(a,b,c), todos não nulos.

Gabarito: (x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c.

2. Para P0=(1,2,3), v=(2,4,6), escreva a forma simétrica.

Gabarito: (x-1)/2 = (y-2)/4 = (z-3)/6.

3. Para P0=(1,2,3), v=(2,0,3) (b=0), como fica a equação?

Gabarito: y=2 (constante), separado da cadeia; (x-1)/2 = (z-3)/3.

4. Por que a forma simétrica exige a,b,c≠0?

Gabarito: Porque a fórmula envolve dividir por cada componente — divisão por zero não é definida.

5. Encontre o erro: "toda reta no espaço tem uma forma simétrica com as três frações completas."

Gabarito: Errado: se alguma componente do vetor diretor for zero, essa coordenada fica constante, fora da cadeia de frações.

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