Aula 482 — Limites de funções racionais
50 minObjetivo geral
Calcular limites de funções racionais por substituição direta quando o denominador não se anula no ponto.
Objetivos específicos
- Calcular lim(x→a) (p(x)/q(x)) por substituição direta quando q(a)≠0.
- Reconhecer que a substituição direta falha (gera indeterminação) quando q(a)=0.
- Antecipar que, quando q(a)=0, é preciso uma técnica diferente (a ser vista nas próximas aulas).
Conhecimentos prévios
- Limites de funções polinomiais, Aula 481 deste módulo.
- Domínio de funções racionais, Módulo 28, Aula 461.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula482_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para calcular lim(x→1)((x+2)/(x+5)), basta substituir x=1 direto, como fizemos com polinômios?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever lim(x→1)((x+2)/(x+5)) no quadro e perguntar se a substituição direta sempre funciona para funções racionais, do mesmo jeito que para polinômios. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): generalizar a regra da substituição direta (válida sempre para polinômios) também para toda função racional, sem checar se o denominador se anula no ponto — a substituição só é válida enquanto o denominador não é zero ali.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: pela propriedade do quociente (Aula 480), lim(x→a)(p(x)/q(x))=p(a)/q(a), DESDE QUE q(a)≠0. Para lim(x→1)((x+2)/(x+5)): q(1)=1+5=6≠0, então a substituição é válida: (1+2)/(1+5)=3/6=1/2. Mas se o denominador se anula no ponto (por exemplo lim(x→3)((x+1)/(x-3))), a substituição direta gera uma fração com denominador zero, que é uma indeterminação ou uma divisão inválida — nesses casos, é preciso uma técnica diferente, a ser vista já na próxima aula. Resolvendo a pergunta do Momento 2: sim, nesse caso específico — porque o denominador (1+5=6) não é zero em x=1; a substituição direta só é válida quando isso acontece.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente lim(x→0)((x+3)/(x2+1)) por substituição direta (3/1=3, denominador não zera). Em duplas: verificar que lim(x→2)((x+1)/(x-2)) NÃO pode ser calculado por substituição direta (denominador zera em x=2) e identificar isso como um caso a resolver com outra técnica.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim, mas com uma condição — a substituição direta em funções racionais só é válida quando o denominador não se anula no ponto; quando anula, é preciso outra técnica, que será vista a seguir.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule lim(x→1)((x+2)/(x+5)).
Gabarito: 1/2, por substituição direta (denominador 6≠0).
2. Calcule lim(x→0)((x+3)/(x2+1)).
Gabarito: 3, por substituição direta (denominador 1≠0).
3. lim(x→2)((x+1)/(x-2)) pode ser calculado por substituição direta? Por quê?
Gabarito: Não — o denominador se anula em x=2, gerando uma indeterminação/divisão inválida.
4. Qual a condição para que a substituição direta funcione em funções racionais?
Gabarito: O denominador não pode se anular no ponto (q(a)≠0).
5. Encontre o erro: "substituição direta sempre funciona para funções racionais, como funciona para polinômios".
Gabarito: Errado: só funciona quando o denominador não se anula no ponto; quando anula, é preciso outra técnica.