Aula 490 — Limites no infinito
50 minObjetivo geral
Formalizar com a notação lim(x→∞) o comportamento de funções racionais quando x cresce ou decresce sem limite.
Objetivos específicos
- Escrever e interpretar a notação lim(x→∞) f(x)=L e lim(x→-∞) f(x)=L.
- Calcular limites no infinito de funções racionais dividindo pelo termo de maior grau.
- Relacionar esses limites com a regra dos graus para assíntotas horizontais, já vista no Módulo 28.
Conhecimentos prévios
- Comportamento de funções no infinito, Módulo 28, Aula 468.
- Assíntotas horizontais, Módulo 28, Aula 470.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula490_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: como escrever formalmente, com notação de limite, que (2x+1)/(x+3) se aproxima de 2 conforme x cresce sem limite?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoRetomar a observação numérica do Módulo 28 (Aula 468) e perguntar qual notação formaliza essa observação. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a notação lim(x→∞) representa um "valor de x igual a infinito", como se infinito fosse um número que pode ser substituído — x→∞ significa que x cresce SEM LIMITE, nunca atinge um valor "infinito"; a notação descreve um comportamento de crescimento indefinido, não uma substituição.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: lim(x→∞)f(x)=L formaliza que f(x) se aproxima de L conforme x cresce sem limite (analogamente, lim(x→-∞) para x decrescendo sem limite). Para calcular, divide-se numerador e denominador pelo termo de maior grau: lim(x→∞)(2x+1)/(x+3)=lim(x→∞)(2+1/x)/(1+3/x)=(2+0)/(1+0)=2, pois 1/x e 3/x se aproximam de 0 quando x cresce sem limite. Esse valor L, quando existe, é exatamente a assíntota horizontal y=L vista no Módulo 28 (Aula 470) — a regra dos graus (n<d→0; n=d→razão dos coeficientes líderes; n>d→sem assíntota) agora tem justificativa formal via limite. Resolvendo a pergunta do Momento 2: lim(x→∞)(2x+1)/(x+3)=2, formalizando a observação numérica feita no Módulo 28.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente lim(x→∞) 1/(x2+1) dividindo pelo termo de maior grau (resultado 0). Em duplas: calcular lim(x→-∞)(3x-1)/(x+2) (resultado 3, mesma regra, x negativo não muda a razão dos coeficientes líderes).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: lim(x→∞)(2x+1)/(x+3)=2 — a notação x→∞ significa que x cresce sem limite (nunca é substituído por um valor "infinito"), e o valor do limite formaliza exatamente a observação numérica já feita no Módulo 28.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule lim(x→∞)(2x+1)/(x+3).
Gabarito: 2, dividindo numerador e denominador por x.
2. Calcule lim(x→∞) 1/(x2+1).
Gabarito: 0.
3. Calcule lim(x→-∞)(3x-1)/(x+2).
Gabarito: 3.
4. O que a notação x→∞ significa?
Gabarito: Que x cresce sem limite — não que x é substituído por um valor infinito.
5. Encontre o erro: "lim(x→∞)f(x) significa substituir x por infinito na fórmula".
Gabarito: Errado: infinito não é um número substituível; a notação descreve o comportamento de f(x) conforme x cresce sem limite.