Aula 500 — Definição de derivada pelo limite
50 minObjetivo geral
Definir formalmente a derivada de uma função num ponto como o limite que unifica taxa instantânea e inclinação da reta tangente.
Objetivos específicos
- Escrever a definição formal f'(a)=lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h.
- Reconhecer que essa definição sempre gera uma forma 0/0 na substituição direta, e que isso é esperado.
- Calcular f'(a) pela definição para funções simples, resolvendo a indeterminação algebricamente.
Conhecimentos prévios
- Reta secante e reta tangente, Aula 499 deste módulo.
- Formas indeterminadas, Módulo 29.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula500_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: ao aplicar a definição de derivada, substituir h=0 direto na fórmula (f(a+h)-f(a))/h sempre dá 0/0. Isso é um sinal de erro?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f'(a)=lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h no quadro e perguntar se a substituição h=0 direta (que sempre dá 0/0) indica que algo está errado na definição. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a indeterminação 0/0 na definição de derivada é um erro ou um caso especial raro — na verdade, TODA derivada calculada pela definição gera 0/0 na substituição direta (pois h=0 anula tanto o numerador quanto o denominador), e resolver essa indeterminação é exatamente o trabalho de calcular a derivada.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a derivada de f em a é f'(a)=lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h — essa é a definição formal que unifica a taxa de variação instantânea (Aula 498) e a inclinação da reta tangente (Aula 499). Como f(a+h)-f(a) sempre vale 0 quando h=0, a forma 0/0 é a REGRA, não a exceção — o trabalho de calcular a derivada é justamente simplificar algebricamente (expandir, fatorar, racionalizar) antes de tomar o limite. Para f(x)=x2, f'(a)=lim(h→0)((a+h)2-a2)/h=lim(h→0)(2ah+h2)/h=lim(h→0)(2a+h)=2a — fórmula geral que confirma f'(1)=2 e f'(2)=4, já calculados na Aula 498. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — 0/0 é sempre o resultado da substituição direta na definição de derivada; resolver essa indeterminação (aqui, fatorando h) é o próprio processo de calcular a derivada.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente f'(a) para f(x)=x3 pela definição (resultado 3a2). Em duplas: calcular f'(a) para f(x)=2x+5 pela definição (resultado 2, constante — reta tem derivada constante).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — 0/0 é sempre o que aparece na substituição direta da definição de derivada, porque f(a+h)-f(a) vale 0 em h=0; resolver essa indeterminação algebricamente é exatamente o processo de encontrar f'(a).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a definição formal de f'(a) usando limite.
Gabarito: f'(a)=lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h.
2. Use a definição para calcular f'(a) de f(x)=x2.
Gabarito: f'(a)=2a.
3. Use a definição para calcular f'(a) de f(x)=x3.
Gabarito: f'(a)=3a2.
4. Use a definição para calcular f'(a) de f(x)=2x+5.
Gabarito: f'(a)=2 (constante).
5. Encontre o erro: "se a substituição direta na definição de derivada dá 0/0, algo está errado no cálculo".
Gabarito: Errado: 0/0 é sempre o resultado esperado da substituição direta na definição; resolver essa indeterminação é o processo normal de calcular a derivada.