Aula 524 — Teste da segunda derivada
50 minObjetivo geral
Aplicar o teste da segunda derivada para classificar pontos críticos, reconhecendo seus limites quando f''(c)=0.
Objetivos específicos
- Aplicar o teste da segunda derivada: f'(c)=0 e f''(c)>0 implica mínimo local; f''(c)<0 implica máximo local.
- Reconhecer que, quando f''(c)=0, o teste é INCONCLUSIVO, exigindo o teste da primeira derivada.
- Escolher entre o teste da primeira e da segunda derivada conforme a situação.
Conhecimentos prévios
- Teste da primeira derivada, Aula 521 deste módulo.
- Concavidade, Aula 522 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula524_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: o teste da segunda derivada sempre funciona para classificar qualquer ponto crítico?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoApresentar o teste da segunda derivada e perguntar se ele é sempre aplicável, sem exceções. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que o teste da segunda derivada é sempre decisivo — quando f''(c)=0, o teste é INCONCLUSIVO (não diz nada sobre máximo, mínimo ou nenhum), e é preciso recorrer ao teste da primeira derivada (Aula 521) nesse caso.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o teste da segunda derivada diz: se f'(c)=0 e f''(c)>0, c é mínimo local (concavidade para cima, "forma de U"); se f'(c)=0 e f''(c)<0, c é máximo local (concavidade para baixo, "forma de arco"); se f''(c)=0, o teste é INCONCLUSIVO. Para f(x)=x3-3x: f''(x)=6x; em x=-1, f''(-1)=-6<0, então máximo local (confirma a Aula 521); em x=1, f''(1)=6>0, então mínimo local. Já para f(x)=x4 em x=0: f'(0)=0 e f''(0)=0 — o teste da segunda derivada NÃO decide nada aqui; é preciso usar o teste da primeira derivada (f'(x)=4x3 muda de negativo para positivo em x=0, confirmando mínimo local). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — quando f''(c)=0, o teste é inconclusivo, e é preciso recorrer ao teste da primeira derivada para decidir.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: classificar coletivamente os pontos críticos de f(x)=x3-3x usando o teste da segunda derivada (x=-1 máximo, x=1 mínimo). Em duplas: tentar classificar x=0 de g(x)=x4 pelo teste da segunda derivada (inconclusivo, g''(0)=0) e depois pelo teste da primeira derivada (mínimo local).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — quando f''(c)=0, o teste da segunda derivada não decide nada (é inconclusivo); nesses casos, volta-se ao teste da primeira derivada, que sempre funciona.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie o teste da segunda derivada.
Gabarito: f'(c)=0 e f''(c)>0: mínimo local; f''(c)<0: máximo local; f''(c)=0: inconclusivo.
2. Classifique x=-1 e x=1 de f(x)=x3-3x pelo teste da segunda derivada.
Gabarito: x=-1: máximo local (f''<0); x=1: mínimo local (f''>0).
3. Para g(x)=x4, o teste da segunda derivada decide o que acontece em x=0?
Gabarito: Não — g''(0)=0, teste inconclusivo.
4. O que fazer quando o teste da segunda derivada é inconclusivo?
Gabarito: Recorrer ao teste da primeira derivada.
5. Encontre o erro: "o teste da segunda derivada sempre classifica qualquer ponto crítico".
Gabarito: Errado: quando f''(c)=0, o teste é inconclusivo; é preciso usar o teste da primeira derivada nesse caso.