← Módulo

Aula 530 — Primitivas e antiderivadas

50 min
Baixar plano de aula (.docx)Abrir apresentação (.pptx)

Objetivo geral

Compreender o conceito de primitiva (antiderivada), reconhecendo que uma função tem infinitas primitivas.

Objetivos específicos

  • Definir F(x) como primitiva de f(x) quando F'(x)=f(x).
  • Verificar se uma função dada é primitiva de outra, derivando-a.
  • Reconhecer que, se F(x) é primitiva de f(x), então F(x)+C também é, para qualquer constante C.

Conhecimentos prévios

  • Derivadas de funções polinomiais, Módulo 30.
  • Derivada da função constante, Módulo 30.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula530_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: se F(x)=x2 é uma primitiva de f(x)=2x, essa é a ÚNICA função cuja derivada é 2x?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever F(x)=x2 e f(x)=2x no quadro, confirmar que F'(x)=f(x), e perguntar se F é a única primitiva possível. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a primitiva de uma função é única — como a derivada de qualquer constante é zero (Módulo 30), toda função da forma x2+C (para qualquer C) também tem derivada 2x; existem infinitas primitivas, formando uma FAMÍLIA de funções.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: F(x) é uma primitiva (ou antiderivada) de f(x) se F'(x)=f(x). Como a derivada de uma constante é sempre zero, se F(x) é primitiva de f(x), então F(x)+C também é primitiva, para qualquer constante C — de fato, TODAS as primitivas de f(x) têm essa forma (duas primitivas de uma mesma função sempre diferem por uma constante). Para f(x)=2x: x2+1, x2-5, x2+100 são todas primitivas válidas, pois todas têm derivada 2x. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — x2+C é primitiva de 2x para qualquer constante C; existem infinitas primitivas, todas da mesma família.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: verificar coletivamente que F(x)=x3-7 é primitiva de f(x)=3x2 (derivando F). Em duplas: verificar que G(x)=sen(x)+10 é primitiva de g(x)=cos(x).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — F(x)=x2 não é a única primitiva de 2x; qualquer função da forma x2+C (com C constante) também tem derivada 2x, formando uma família infinita de primitivas.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. F(x)=x2 é a única primitiva de f(x)=2x?

Gabarito: Não — x2+C é primitiva para qualquer constante C.

2. Verifique que F(x)=x3-7 é primitiva de f(x)=3x2.

Gabarito: F'(x)=3x2=f(x), confirmado.

3. Verifique que G(x)=sen(x)+10 é primitiva de g(x)=cos(x).

Gabarito: G'(x)=cos(x)=g(x), confirmado.

4. Se F(x) é primitiva de f(x), o que se pode dizer sobre F(x)+5?

Gabarito: F(x)+5 também é primitiva de f(x), pois a derivada da constante 5 é zero.

5. Encontre o erro: "a primitiva de uma função é única, assim como a derivada".

Gabarito: Errado: uma função tem infinitas primitivas, todas diferindo por uma constante.

Aula 531 →