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Aula 532 — Integrais imediatas

50 min
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Objetivo geral

Aplicar as regras de integração imediata, com atenção especial ao caso excepcional n=-1 na regra da potência.

Objetivos específicos

  • Aplicar a regra da potência invertida: ∫xn dx=x^(n+1)/(n+1)+C, para n≠-1.
  • Reconhecer que essa regra falha para n=-1 (divisão por zero), exigindo uma regra separada.
  • Aplicar ∫(1/x)dx=ln|x|+C para o caso excepcional.

Conhecimentos prévios

  • Integral indefinida, Aula 531 deste módulo.
  • Derivada de ln(x), Módulo 30.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula532_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: aplicando a regra da potência invertida a ∫x-1dx, o que se obtém?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever ∫x-1dx no quadro e aplicar a fórmula x^(n+1)/(n+1) com n=-1. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar cegamente a regra da potência invertida a ∫x-1dx, obtendo x0/0 — uma divisão por zero, sem sentido; esse é o único caso em que a regra da potência para integrais FALHA, exigindo uma fórmula completamente diferente.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: a regra da potência invertida, ∫xn dx=x^(n+1)/(n+1)+C, vale para todo n≠-1 (a demonstração é a derivada de x^(n+1)/(n+1), que dá exatamente xn). Para n=-1, essa fórmula pede divisão por (n+1)=0, indefinida — nesse caso específico, usa-se a regra separada ∫(1/x)dx=ln|x|+C (consequência direta de d/dx[ln|x|]=1/x, Módulo 30). Outras integrais imediatas: ∫eˣdx=eˣ+C, ∫sen(x)dx=-cos(x)+C, ∫cos(x)dx=sen(x)+C. Resolvendo a pergunta do Momento 2: x0/0, uma divisão por zero sem sentido — por isso n=-1 é sempre tratado separadamente, com a fórmula ∫(1/x)dx=ln|x|+C.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente ∫x5dx (x6/6+C) e ∫(1/x)dx (ln|x|+C). Em duplas: calcular ∫x-3dx (resultado -x-2/2+C, usando a regra da potência normalmente, pois n=-3≠-1).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: obtém-se x0/0, uma divisão por zero indefinida — a regra da potência invertida não se aplica a n=-1; esse caso usa a fórmula separada ∫(1/x)dx=ln|x|+C.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Calcule ∫x5dx.

Gabarito: x6/6+C.

2. Calcule ∫(1/x)dx.

Gabarito: ln|x|+C.

3. Calcule ∫x-3dx.

Gabarito: -x-2/2+C.

4. Por que a regra da potência invertida não se aplica a ∫x-1dx?

Gabarito: Porque n+1=0 no denominador, gerando uma divisão por zero.

5. Encontre o erro: "∫x-1dx=x0/0+C, aplicando a regra da potência".

Gabarito: Errado: n=-1 é uma exceção; a fórmula correta é ∫(1/x)dx=ln|x|+C.

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