Aula 535 — Somas de Riemann
50 minObjetivo geral
Aproximar a área sob uma curva usando somas de Riemann, reconhecendo que somas pela esquerda e pela direita geralmente diferem.
Objetivos específicos
- Calcular a soma de Riemann pela esquerda e pela direita para uma função dada.
- Reconhecer que, para uma função crescente, a soma pela esquerda subestima e a soma pela direita superestima a área real (e vice-versa para decrescente).
- Perceber que aumentar o número de retângulos aproxima ambas as somas do valor exato da área.
Conhecimentos prévios
- Taxa de variação média, Módulo 30.
- Interpretação geométrica de funções, Módulo 28.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula535_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para f(x)=x2 em [0,2], a soma de Riemann pela esquerda e pela direita (com o mesmo número de retângulos) dão o mesmo valor?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=x2 em [0,2] no quadro e perguntar se somar retângulos pela esquerda ou pela direita dá o mesmo resultado. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a escolha de usar a altura da esquerda ou da direita de cada retângulo não importa — para uma função crescente, os retângulos pela esquerda ficam sistematicamente ABAIXO da curva (subestimando a área), e os retângulos pela direita ficam ACIMA (superestimando); os dois valores são geralmente diferentes.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: uma soma de Riemann aproxima a área sob uma curva dividindo o intervalo em n retângulos e somando suas áreas (base×altura); a altura pode ser tomada no extremo esquerdo, direito, ou no ponto médio de cada subintervalo. Para f(x)=x2 em [0,2] com n=4 retângulos (largura 0,5 cada): soma pela esquerda (usando x=0; 0,5; 1; 1,5) dá 1,75; soma pela direita (usando x=0,5; 1; 1,5; 2) dá 3,75 — valores bem diferentes, e o valor exato da área (calculável por integral, próximas aulas) é 8/3≈2,667, entre os dois. Aumentando n (mais retângulos, mais finos), as duas somas se aproximam cada vez mais desse valor exato. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — para f(x)=x2 (crescente) em [0,2], a soma pela esquerda (1,75) subestima e a soma pela direita (3,75) superestima a área real; são valores diferentes.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente a soma de Riemann pela esquerda para f(x)=x+1 em [0,2] com n=4 (largura 0,5: alturas em x=0,0.5,1,1.5, soma=(1+1.5+2+2.5)×0.5=3.5). Em duplas: calcular a soma pela direita da mesma função e do mesmo intervalo (alturas em x=0.5,1,1.5,2: soma=(1.5+2+2.5+3)×0.5=4.5).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — para f(x)=x2 em [0,2], a soma pela esquerda (1,75) e pela direita (3,75) são bem diferentes; a esquerda subestima e a direita superestima a área real de uma função crescente.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Para f(x)=x2 em [0,2] com n=4, a soma pela esquerda subestima ou superestima a área?
Gabarito: Subestima (função crescente, retângulos abaixo da curva).
2. E a soma pela direita, nesse mesmo caso?
Gabarito: Superestima (retângulos acima da curva).
3. Calcule a soma de Riemann pela esquerda de f(x)=x+1 em [0,2], n=4.
Gabarito: 3,5.
4. Calcule a soma de Riemann pela direita de f(x)=x+1 em [0,2], n=4.
Gabarito: 4,5.
5. Encontre o erro: "a soma de Riemann pela esquerda e pela direita sempre dão o mesmo valor, não importa a função".
Gabarito: Errado: para funções não constantes, as somas pela esquerda e pela direita geralmente diferem, uma subestimando e outra superestimando a área.