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Aula 537 — Propriedades da integral definida

50 min
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Objetivo geral

Aplicar as propriedades da integral definida, incluindo a inversão de sinal ao trocar os limites de integração.

Objetivos específicos

  • Aplicar ∫[a,a]f(x)dx=0.
  • Aplicar ∫[b,a]f(x)dx=-∫[a,b]f(x)dx.
  • Aplicar a propriedade de aditividade: ∫[a,c]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[b,c]f(x)dx.

Conhecimentos prévios

  • Integral definida, Aula 536 deste módulo.
  • Propriedades da integral indefinida, Aula 533 deste módulo.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula537_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: se ∫[0,2]x2dx=8/3, quanto vale ∫[2,0]x2dx (os limites invertidos)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever ∫[2,0]x2dx no quadro e perguntar se o valor é o mesmo de ∫[0,2]x2dx. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que trocar a ordem dos limites de integração não muda o resultado — assim como trocar os limites de uma soma "de trás para frente", inverter os limites de integração INVERTE O SINAL do resultado: ∫[b,a]f(x)dx=-∫[a,b]f(x)dx.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: as propriedades da integral definida incluem: ∫[a,a]f(x)dx=0 (intervalo de largura zero); ∫[b,a]f(x)dx=-∫[a,b]f(x)dx (trocar os limites inverte o sinal); e a aditividade, ∫[a,c]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[b,c]f(x)dx (dividir o intervalo em partes e somar). Para ∫[2,0]x2dx: pela propriedade de inversão, isso é -∫[0,2]x2dx=-8/3. Resolvendo a pergunta do Momento 2: -8/3 — trocar a ordem dos limites de integração inverte o sinal do resultado, não mantém o mesmo valor.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente ∫[5,2]f(x)dx sabendo que ∫[2,5]f(x)dx=12 (resultado -12). Em duplas: usar a aditividade para calcular ∫[0,5]f(x)dx sabendo que ∫[0,3]f(x)dx=6 e ∫[3,5]f(x)dx=4 (resultado 10).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: -8/3 — inverter os limites de integração troca o sinal do resultado; ∫[2,0]x2dx=-∫[0,2]x2dx=-8/3, não o mesmo valor de ∫[0,2]x2dx.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Se ∫[0,2]x2dx=8/3, quanto vale ∫[2,0]x2dx?

Gabarito: -8/3.

2. Quanto vale ∫[3,3]f(x)dx, para qualquer f?

Gabarito: 0.

3. Se ∫[2,5]f(x)dx=12, quanto vale ∫[5,2]f(x)dx?

Gabarito: -12.

4. Se ∫[0,3]f(x)dx=6 e ∫[3,5]f(x)dx=4, quanto vale ∫[0,5]f(x)dx?

Gabarito: 10, pela aditividade.

5. Encontre o erro: "trocar a ordem dos limites de integração não muda o valor da integral definida".

Gabarito: Errado: trocar os limites inverte o sinal do resultado — ∫[b,a]f(x)dx=-∫[a,b]f(x)dx.

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