Aula 554 — Comprimento de arco

O professor pergunta: o comprimento de arco de uma curva de x=a a x=b é simplesmente ∫[a,b]f'(x)dx, a integral da derivada?

Escrever ∫[a,b]f'(x)dx no quadro e perguntar se essa expressão calcula o comprimento da curva. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que o comprimento de arco é simplesmente a integral da derivada — essa confusão ignora que o comprimento de um pedacinho de curva vem do Teorema de Pitágoras aplicado a um triângulo infinitesimal (Δx e Δy como catetos), não apenas da inclinação da curva.

Apresentação dos slides 2 a 9: um pedacinho de arco, de comprimento aproximado ΔL, forma a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos Δx e Δy — pelo Teorema de Pitágoras, ΔL≈√(Δx²+Δy²)=√(1+(Δy/Δx)²)·Δx=√(1+[f'(x)]²)·Δx. Somando (integrando) esses pedacinhos, obtém-se a fórmula do comprimento de arco: L=∫[a,b]√(1+[f'(x)]²)dx — nem ∫f'(x)dx nem ∫|f'(x)|dx, mas uma expressão que envolve o QUADRADO da derivada dentro de uma raiz. Para f(x)=x^(3/2) de x=0 a x=4: f'(x)=(3/2)x^(1/2), [f'(x)]²=(9/4)x; L=∫[0,4]√(1+9x/4)dx≈9,07 (calculável, embora não seja um número inteiro). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a fórmula correta envolve o quadrado da derivada dentro de uma raiz, L=∫√(1+[f'(x)]²)dx, vinda do Teorema de Pitágoras aplicado a um pedacinho de curva, não apenas a integral direta de f'(x).

Resolução guiada: montar coletivamente a integral do comprimento de arco de f(x)=x² de x=0 a x=1 (L=∫[0,1]√(1+4x²)dx, sem necessariamente resolver a integral). Em duplas: verificar por que o comprimento de arco de uma reta f(x)=mx+n de x=a a x=b, calculado pela fórmula, coincide com a distância euclidiana entre os pontos (confirmando a fórmula com um caso simples).

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Retomar a pergunta do Momento 1: não — a fórmula do comprimento de arco é L=∫√(1+[f'(x)]²)dx, derivada do Teorema de Pitágoras aplicado a pedacinhos infinitesimais de curva, não simplesmente a integral da derivada.