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Aula 77 — Radicais e propriedades da radiciação

50 min
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Objetivo geral

Aplicar as propriedades da radiciação (raiz de um produto, raiz de um quociente, raiz de uma raiz) para simplificar expressões com radicais.

Objetivos específicos

  • Identificar os elementos de um radical: índice, radicando e raiz.
  • Aplicar a propriedade da raiz de um produto (n√(a×b)=n√a×n√b).
  • Aplicar a propriedade da raiz de um quociente (n√(a/b)=n√a/n√b).
  • Aplicar a propriedade da raiz de uma raiz (multiplica os índices).

Conhecimentos prévios

  • Expoentes fracionários, Módulo 4, Aula 76.
  • Radiciação e raízes exatas, Módulo 1, Aula 23.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula77_Apresentacao.pptx.
  • Cartaz com as propriedades da radiciação e os elementos de um radical.
  • GeoGebra (calculadora CAS, para conferir propriedades de radicais).

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: "√(9+16) é igual a √9+√16?" Ouvir hipóteses.

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Calcular √25 (=5) e √9+√16 (=3+4=7) lado a lado, e perguntar: os dois resultados batem? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a raiz de uma soma é igual à soma das raízes — essa propriedade NÃO existe; só existe para produto e quociente.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: num radical n√a, n é o índice e a é o radicando. A raiz de um produto é o produto das raízes (n√(a×b)=n√a×n√b: √(4×9)=√4×√9=2×3=6=√36) e a raiz de um quociente é o quociente das raízes (√(100/4)=√100/√4=10/2=5) — mas NÃO existe propriedade equivalente para soma ou subtração, resolvendo o obstáculo do Momento 2: √25=5, mas √9+√16=7, resultados diferentes. A raiz de uma raiz multiplica os índices: 3√(√64)=6√64=2.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente √(4×9) dos dois jeitos (direto e pela propriedade), confirmando que coincidem. Em duplas: calcular √(100/4) e 3√(√64), identificando índice e radicando em cada caso.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — √(9+16)=√25=5, mas √9+√16=7; a raiz da soma não é a soma das raízes.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Calcule √(4×9) de duas formas: direto e usando a propriedade da raiz do produto.

Gabarito: Direto: √36=6. Pela propriedade: √4×√9=2×3=6. Os dois caminhos coincidem.

2. Calcule √(100/4) usando a propriedade da raiz do quociente.

Gabarito: √100/√4=10/2=5.

3. Encontre o erro: "√(9+16) calculado como √9+√16=3+4=7".

Gabarito: O erro foi aplicar uma propriedade que não existe — a raiz da soma NÃO é a soma das raízes. O correto é √(9+16)=√25=5.

4. Calcule 3√(√64), aplicando a propriedade da raiz de uma raiz.

Gabarito: Multiplica-se os índices: 6√64=2 (pois 26=64).

5. Identifique o índice, o radicando e a raiz de 3√27=3.

Gabarito: Índice: 3. Radicando: 27. Raiz (resultado): 3.

Observações e extensão

Próxima aula: Operações com radicais.

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