Aula 13 — Sistemas de Equações: Resolvendo duas equações com duas incógnitas.
50 minObjetivo geral
Compreender por que uma equação com duas incógnitas, isoladamente, admite infinitas soluções, e como uma segunda condição simultânea restringe essas soluções a um único par de valores, resolvendo sistemas por substituição e adição.
Objetivos específicos
- Compreender por que uma equação com duas incógnitas, isoladamente, admite infinitas soluções, e como uma segunda condição simultânea restringe essas soluções a um único par de valores.
- Aplicar o método da substituição, isolando uma variável em uma das equações e inserindo-a na outra.
- Aplicar o método da adição (eliminação), multiplicando uma ou ambas as equações para cancelar uma variável ao somá-las.
- Reconhecer situações físicas — como encontro de dois móveis, mistura de soluções ou composição de forças colineares — que se resolvem naturalmente como sistemas de duas equações.
- Verificar a solução de um sistema substituindo os valores encontrados nas duas equações originais.
Conhecimentos prévios
- Ancoragem nas equações do 1º grau e no princípio da balança para isolar incógnitas (Aula 11), e na interpretação física do resultado de uma incógnita isolada em uma fórmula (Aulas 9 e 10). Apresenta-se o sistema de equações não como uma técnica isolada, mas como a ferramenta natural para situações em que duas grandezas desconhecidas estão simultaneamente vinculadas por duas condições físicas independentes.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides (Possor_Aula13_SistemasDeEquacoes.pptx) com exemplos físicos resolvidos passo a passo.
- Quadro/lousa e material de escrita, para a resolução guiada.
- Calculadora científica (opcional), para os alunos conferirem os cálculos.
- Lista de exercícios impressa com aplicações físicas de encontro de móveis, misturas e composição de forças.
Desenvolvimento da aula
Sensibilização e Ancoragem
8 min · AusubelProblematização inicial: se eu disser apenas que dois números somados dão 10, existem infinitas soluções possíveis. Mas se eu acrescentar uma segunda condição — que a diferença entre eles é 4 — a resposta se torna única. Mostra-se que é exatamente esse o papel de um sistema: duas condições simultâneas restringindo um único par de valores.
Desestabilização e Obstáculo Epistemológico
8 min · BachelardEscrever no quadro o sistema x + y = 10 e x − y = 4, e perguntar como resolver. Nomeia-se o obstáculo clássico: a crença de que uma equação com duas incógnitas, isoladamente, já poderia ser 'resolvida' — quando, na verdade, ela define uma reta inteira de soluções possíveis, e apenas a interseção com a segunda equação fixa um único ponto.
Exposição Dialogada e Sistematização
12 minFormalização dos dois métodos: substituição (isolar uma variável em uma equação e inserir na outra) e adição (multiplicar uma ou ambas as equações para que os coeficientes de uma variável se cancelem ao somá-las). Resolução de um exemplo físico: dois trens que partem de pontos opostos, distantes 240 km, viajando um em direção ao outro — a soma das distâncias percorridas por cada um é sempre igual a 240 km.
Atividade Guiada na ZDP
10 min · VygotskyResolução compartilhada: duas forças colineares e de mesmo sentido têm resultante de 50 N, com uma diferença de 10 N entre suas intensidades. Os estudantes resolvem por adição (F₁ + F₂ = 50, F₁ − F₂ = 10 → F₁ = 30 N, F₂ = 20 N), conectando explicitamente o sistema de equações à composição de forças que será formalizada na Dinâmica.
Prática Independente
10 minResolução autônoma da lista de exercícios de fixação, com o professor circulando para diagnosticar e corrigir o erro comum de multiplicar apenas parte de uma equação — esquecendo o termo independente — ao aplicar o método da adição.
Fechamento e Síntese
4 minRetomada da pergunta disparadora do Momento 1: por que uma equação sozinha não bastava? Recapitulação dos dois métodos e de quando cada um é mais vantajoso — substituição quando uma variável já está isolada ou é fácil de isolar; adição quando os coeficientes facilitam o cancelamento direto.
Avaliação formativa
Verificação contínua durante a resolução guiada do Momento 4, e análise da taxa de acerto nos dois primeiros exercícios da lista, checando se os estudantes escolhem o método mais eficiente (substituição ou adição) conforme a estrutura do sistema apresentado.
Lista de exercícios
1. Resolva o sistema por adição: x + y = 12; x − y = 2.
Gabarito: Somando as equações: 2x = 14 → x = 7; substituindo na primeira: 7 + y = 12 → y = 5.
2. Resolva o sistema por substituição: x + 2y = 8; 3x + y = 9.
Gabarito: Isolando x na primeira: x = 8 − 2y; substituindo na segunda: 3(8 − 2y) + y = 9 → 24 − 6y + y = 9 → −5y = −15 → y = 3; logo x = 8 − 2(3) = 2.
3. Dois recipientes contêm juntos 20 litros de uma solução. O recipiente A tem o triplo do volume do recipiente B. Quantos litros há em cada um?
Gabarito: A + B = 20 e A = 3B → 3B + B = 20 → 4B = 20 → B = 5 L; A = 15 L.
4. Duas forças colineares e de mesmo sentido, aplicadas em um ponto, têm resultante de 50 N. Se a diferença entre suas intensidades é 10 N, determine o valor de cada força.
Gabarito: F₁ + F₂ = 50 e F₁ − F₂ = 10 → somando: 2F₁ = 60 → F₁ = 30 N; F₂ = 20 N.
5. Dois trens partem, um da estação A e outro da estação B, distantes 240 km, viajando um em direção ao outro a 70 km/h e 50 km/h, respectivamente. Depois de quanto tempo eles se encontram, e a que distância da estação A?
Gabarito: dA + dB = 240, com dA = 70t e dB = 50t → 70t + 50t = 240 → 120t = 240 → t = 2 h; dA = 70 · 2 = 140 km.
Observações e extensão
O erro de multiplicar apenas parte de uma equação — esquecendo de multiplicar também o termo independente — ao aplicar o método da adição é o deslize mais recorrente do tema. Vale reforçá-lo explicitamente antes de liberar os alunos para a prática independente, e retomá-lo sempre que sistemas de equações reaparecerem: na composição de forças em Dinâmica e, mais adiante, na análise de circuitos em Eletrodinâmica.