Aula 86 — Cordas Sonoras (Harmônicos em instrumentos de corda)
50 minObjetivo geral
Compreender a formação de ondas estacionárias em cordas presas nas duas extremidades e calcular as frequências dos harmônicos de uma corda vibrante.
Objetivos específicos
- Reconhecer que uma corda presa nas duas extremidades tem sempre um nó em cada ponta.
- Aplicar a fórmula dos harmônicos de uma corda vibrante: fn=n⋅v/(2L), com n inteiro (1,2,3,...).
- Relacionar a velocidade de propagação na corda com a força de tensão aplicada e a densidade linear da corda: v=√(F/μ).
- Explicar como afinar um instrumento de corda ajustando a tensão.
Conhecimentos prévios
- Harmônicos em tubos sonoros e a fórmula fn=n⋅v/(2L) para tubo aberto (Aula 85).
- Força e tensão num fio (Módulo 2 — Dinâmica).
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_Aula86_Apresentacao.pptx.
- Violão, ukulele ou elástico esticado, para demonstração.
- Calculadora (para os exercícios com as fórmulas de harmônicos e velocidade na corda).
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "por que apertar a chave de afinação de um violão (aumentando a tensão da corda) deixa o som mais agudo?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoPerguntar se a fórmula dos harmônicos de uma corda é igual à de um tubo aberto ou de um tubo fechado. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que aumentar a tensão muda diretamente o comprimento da corda (o que a deixaria mais aguda por outro motivo, incorreto), em vez de perceber que a tensão muda a VELOCIDADE de propagação da onda na corda.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 8: uma corda presa nas duas extremidades tem sempre um NÓ em cada ponta (o ponto preso não pode vibrar), formando o mesmo padrão de onda estacionária de um tubo aberto (ventre-ventre, no caso do tubo; nó-nó, no caso da corda, mas com a mesma contagem de harmônicos): fn=n⋅v/(2L), com n=1,2,3,... A velocidade de propagação na corda depende da força de tensão (F) aplicada e da densidade linear da corda (μ, massa por unidade de comprimento): v=√(F/μ). Resolução explícita do obstáculo do Momento 2: apertar a chave de afinação aumenta a tensão F na corda, sem mudar seu comprimento L; como v=√(F/μ) aumenta com F, e fn=n⋅v/(2L) aumenta com v, a frequência do som produzido também aumenta — o som fica mais agudo.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalO professor calcula a frequência fundamental de uma corda dado seu comprimento e a velocidade de propagação. Em duplas, os alunos calculam como essa frequência muda ao dobrar a tensão da corda (usando v=√(F/μ)).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano). O professor circula pela sala, corrigindo quem confunde a fórmula da corda com a do tubo fechado (harmônicos ímpares).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: apertar a chave de afinação aumenta a tensão da corda, aumentando a velocidade de propagação da onda nela e, portanto, a frequência do som. Reforçar as fórmulas fn=n⋅v/(2L) e v=√(F/μ).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante o cálculo em duplas (Momento 4), checando se os alunos relacionam corretamente tensão, velocidade e frequência. Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Uma corda de comprimento 0,6 m vibra com velocidade de propagação 240 m/s. Calcule sua frequência fundamental (n=1).
Gabarito: f1=n⋅v/(2L)=1×240/(2×0,6)=240/1,2=200 Hz.
2. Explique por que uma corda presa nas duas extremidades segue a mesma fórmula de harmônicos que um tubo aberto nas duas extremidades (todos os harmônicos, não só os ímpares).
Gabarito: Porque, embora um caso tenha nó-nó (corda presa) e o outro tenha ventre-ventre (tubo aberto), a contagem de meios comprimentos de onda que cabem entre as duas condições de contorno iguais (nó-nó ou ventre-ventre) segue o mesmo padrão matemático, permitindo qualquer número inteiro de harmônicos.
3. Se a tensão de uma corda é quadruplicada (4×), mantendo a densidade linear e o comprimento, o que acontece com a velocidade de propagação e com a frequência fundamental?
Gabarito: Como v=√(F/μ), quadruplicar F faz v aumentar por √4=2 (v dobra). Como fn=n⋅v/(2L), dobrar v também dobra a frequência fundamental.
4. Duas cordas de violão têm a mesma tensão e o mesmo comprimento, mas densidades lineares diferentes (uma mais grossa que a outra). Qual delas produz o som mais grave? Justifique.
Gabarito: A corda mais grossa (maior densidade linear μ) produz o som mais grave. Como v=√(F/μ), um μ maior no denominador reduz v; e como fn=n⋅v/(2L), uma v menor reduz a frequência, tornando o som mais grave.
5. Explique, em termos físicos, por que apertar uma corda de violão contra o braço do instrumento (encurtando o comprimento vibrante) produz um som mais agudo.
Gabarito: Encurtar o comprimento vibrante da corda (menor L) aumenta a frequência, já que fn=n⋅v/(2L) é inversamente proporcional a L — com L menor, a frequência (e portanto a altura do som) aumenta.
Observações e extensão
Próxima aula: Efeito Doppler na Acústica (Aproximação e afastamento de fontes). Nota para o professor: se houver um violão ou ukulele disponível, mostrar ao vivo o efeito de apertar a corda (afinação) e de pressionar o braço (encurtar L) — ambos os efeitos vistos nesta aula ficam muito mais claros na prática.