Aula 37 — Máximo Divisor Comum (MDC)
50 minObjetivo geral
Calcular o Máximo Divisor Comum (MDC) entre dois ou mais números, usando decomposição em fatores primos, e aplicá-lo a problemas do cotidiano.
Objetivos específicos
- Compreender o MDC como o maior número que divide exatamente dois ou mais números dados.
- Calcular o MDC usando decomposição em fatores primos.
- Reconhecer a regra prática: multiplicar apenas os fatores primos comuns, cada um com seu menor expoente.
- Aplicar o MDC para resolver problemas de divisão em partes iguais sem sobras.
Conhecimentos prévios
- Mínimo Múltiplo Comum (MMC), Módulo 1, Aula 36.
- Decomposição em fatores primos, Módulo 1, Aula 35.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula37_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa com fatoração simultânea de dois números lado a lado.
- Khan Academy (vídeos e exercícios de MDC), como apoio complementar.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "a regra do MDC é igual à do MMC, só que usando o menor expoente em vez do maior? Ou é uma regra completamente diferente?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoPerguntar: uma professora quer montar kits idênticos com 24 lápis e 36 canetas, sem sobrar nenhum material — qual é o maior número de kits que ela pode montar? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir a regra do MDC com a do MMC, usando o maior expoente em vez do menor, ou incluindo fatores que não são comuns aos dois números.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o MDC (Máximo Divisor Comum) entre dois números é o maior número que divide os dois exatamente — diferente do MMC, o MDC usa APENAS os fatores primos COMUNS às duas decomposições, cada um com seu MENOR expoente — isso resolve o obstáculo do Momento 2: 24=23×3, 36=22×32, e os fatores comuns com menor expoente são 22×3=12, então o MDC(24,36)=12, o maior número de kits possível (cada kit com 2 lápis e 3 canetas).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente o MDC(12,18) por decomposição em fatores primos, comparando explicitamente com o MMC(12,18) já calculado na aula anterior. Em duplas: resolver um novo problema de divisão em partes iguais sem sobras usando o MDC.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: é parecida, mas não é só trocar o expoente — o MDC usa só os fatores primos COMUNS aos dois números, com o menor expoente, enquanto o MMC usa TODOS os fatores que aparecem, com o maior expoente.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule o MDC(12,18) por decomposição em fatores primos.
Gabarito: 12=22×3, 18=2×32. Fatores comuns com menor expoente: 21×31=6. MDC=6.
2. Explique a diferença entre a regra do MMC e a regra do MDC, usando o exemplo de 12 e 18.
Gabarito: O MMC usa TODOS os fatores primos que aparecem (comuns ou não), cada um com o MAIOR expoente: MMC(12,18)=22×32=36. O MDC usa só os fatores COMUNS aos dois números, cada um com o MENOR expoente: MDC(12,18)=2×3=6.
3. Uma professora tem 24 lápis e 36 canetas e quer montar kits idênticos, usando todo o material, sem sobras. Qual é o maior número de kits possível?
Gabarito: É o MDC(24,36). 24=23×3, 36=22×32. Fatores comuns com menor expoente: 22×3=12. O maior número de kits possível é 12 (cada kit com 2 lápis e 3 canetas).
4. Calcule o MDC(15,25).
Gabarito: 15=3×5, 25=52. Fator comum com menor expoente: 51=5. MDC=5.
5. Dois números não têm nenhum fator primo em comum. Qual é o MDC entre eles? Explique.
Gabarito: O MDC é 1, já que o único divisor comum garantido entre quaisquer dois números naturais é o 1 — sem fatores primos em comum, não há nenhum outro número que divida os dois exatamente ao mesmo tempo.
Observações e extensão
Nota para o professor: esta é a última aula do Módulo 1 (Aritmética e Fundamentos Numéricos). Vale fazer uma retrospectiva rápida antes de avançar para o Módulo 2: valor posicional e leitura de números, reta numérica, as quatro operações com naturais e com inteiros, expressões numéricas, potenciação e radiciação, sistema métrico (comprimento, área, volume, tempo), e a cadeia múltiplos → divisibilidade → primos → fatoração → MMC → MDC, que fecha o módulo com as ferramentas de teoria dos números mais usadas no restante do currículo.