Aula 36 — Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
50 minObjetivo geral
Calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre dois ou mais números, usando decomposição em fatores primos, e aplicá-lo a problemas do cotidiano.
Objetivos específicos
- Compreender o MMC como o menor número que é múltiplo comum de dois ou mais números dados.
- Calcular o MMC usando decomposição simultânea em fatores primos.
- Reconhecer a regra prática: multiplicar todos os fatores primos que aparecem, cada um com seu maior expoente.
- Aplicar o MMC para resolver problemas de eventos que se repetem em ciclos diferentes.
Conhecimentos prévios
- Decomposição em fatores primos, Módulo 1, Aula 35.
- Múltiplos e divisores, Módulo 1, Aula 32.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula36_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa com fatoração simultânea de dois números lado a lado.
- Khan Academy (vídeos e exercícios de MMC), como apoio complementar.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "o menor múltiplo comum entre 4 e 6 é simplesmente 4×6=24?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoListar os múltiplos de 4 (4,8,12,16,20,24...) e de 6 (6,12,18,24...) lado a lado e perguntar: qual é o PRIMEIRO múltiplo que aparece nas duas listas? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que o MMC de dois números é sempre o produto direto dos dois, sem considerar fatores em comum — 12 já aparece nas duas listas antes de chegar a 24.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) entre dois números é o menor número que é múltiplo dos dois ao mesmo tempo — isso resolve o obstáculo do Momento 2: como 12 já é múltiplo de 4 E de 6, ele é o MMC, não 24. O método mais confiável para calcular o MMC é decompor os números em fatores primos e multiplicar TODOS os fatores primos que aparecem em qualquer um deles, cada um elevado ao seu MAIOR expoente entre as duas decomposições: 4=22, 6=2×3, então MMC(4,6)=22×3=12 (o fator 2 não é contado em dobro, só com seu maior expoente).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente o MMC(12,18) por decomposição simultânea. Em duplas: resolver um problema de dois eventos cíclicos (ex.: ônibus que retornam em intervalos diferentes) usando o MMC.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — o MMC de 4 e 6 é 12, não 24, porque o fator comum (2) não deve ser contado em dobro.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule o MMC(4,6) por decomposição simultânea, mostrando por que NÃO é simplesmente 4×6=24.
Gabarito: 4=22, 6=2×3. O MMC usa cada fator primo com seu maior expoente: 22×3=12. Não é 24 porque o fator 2 é comum aos dois números e não deve ser contado em dobro.
2. Calcule o MMC(12,18).
Gabarito: 12=22×3, 18=2×32. MMC=22×32=4×9=36.
3. Dois ônibus saem juntos de um terminal. Um deles retorna a cada 15 minutos, o outro a cada 20 minutos. Depois de quantos minutos eles vão sair juntos novamente?
Gabarito: É o MMC(15,20). 15=3×5, 20=22×5. MMC=22×3×5=60. Eles saem juntos novamente depois de 60 minutos.
4. Explique, com suas palavras, por que o MMC usa o MAIOR expoente de cada fator primo, e não o menor.
Gabarito: Resposta aberta — espera-se que o aluno explique que o MMC precisa ser múltiplo de cada um dos números originais, então precisa conter pelo menos a maior quantidade de cada fator primo presente entre eles; usar o menor expoente resultaria num número que não seria múltiplo de um dos números originais.
5. Calcule o MMC(9,15,20).
Gabarito: 9=32, 15=3×5, 20=22×5. MMC=22×32×5=4×9×5=180.
Observações e extensão
Próxima aula: Máximo Divisor Comum (MDC). Nota para o professor: MMC e MDC usam o mesmo processo de decomposição em fatores primos, mas com uma regra oposta (maior expoente × menor expoente) — vale fazer essa comparação explícita já na abertura da próxima aula.