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Aula 175 — Polinômios: grau e operações

50 min
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Objetivo geral

Compreender o conceito de grau de um polinômio e realizar operações de adição, subtração e multiplicação, reconhecendo como o grau do resultado se comporta em cada operação.

Objetivos específicos

  • Identificar o grau de um polinômio a partir do maior expoente com coeficiente não nulo.
  • Somar e subtrair polinômios, reduzindo termos semelhantes.
  • Multiplicar polinômios aplicando a distributividade termo a termo.
  • Reconhecer que o grau da soma pode ser menor que o grau das parcelas quando os termos de maior grau se cancelam.

Conhecimentos prévios

  • Operações com monômios e termos semelhantes, Módulo 4.
  • Multiplicação de polinômios (produto de binômios), Módulo 4, Aula 86.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula175_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra CAS, para conferir somas, subtrações e produtos de polinômios digitando as expressões, em computador ou celular.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor retoma a ideia de termos semelhantes (Módulo 4) e pergunta: o que significa o "grau" de uma expressão como 3x4−2x2+5? Ouvir hipóteses, sem confirmar ainda.

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro P(x)=x3+2x2−1 e Q(x)=−x3+x, perguntando: que grau tem P(x)+Q(x)? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): a intuição de que o grau da soma é sempre igual ao maior grau das parcelas nem sempre vale — quando os termos de maior grau se cancelam, o grau do resultado cai.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: grau é o maior expoente com coeficiente não nulo; na soma/subtração somam-se coeficientes de termos semelhantes; na multiplicação, o grau do produto é sempre a SOMA dos graus dos fatores (essa regra não muda). Resolvendo a pergunta do Momento 2: P(x)+Q(x)=2x2+x−1, grau 2 — caiu, porque os termos x3 se cancelaram.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente (x2+1)(x3−2x), conferindo que o grau do resultado é 2+3=5 (x5−x3−2x). Em duplas: somar R(x)=2x2−3x+1 e S(x)=−2x2+5, informando o grau do resultado.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: grau da soma pode cair (cancelamento); grau do produto nunca muda (sempre soma os graus dos fatores).

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Some P(x)=x3+2x2−1 e Q(x)=−x3+x. Qual o grau do resultado?

Gabarito: P+Q=2x2+x−1, grau 2 — menor que o grau 3 das parcelas, pois os termos x3 se cancelaram.

2. Multiplique (x2+1) por (x3−2x).

Gabarito: x5−x3−2x, grau 5 (soma dos graus 2 e 3).

3. Qual o grau do polinômio constante 5?

Gabarito: Grau 0 (constante não nula).

4. Some 3x4−x2+2 e −3x4+x2−2. O que acontece com o grau do resultado?

Gabarito: A soma é 0 (polinômio nulo); por convenção, o grau do polinômio nulo não é definido.

5. Subtraia R(x)=2x2−3x+1 de S(x)=−2x2+5.

Gabarito: S(x)−R(x)=−4x2+3x+4, grau 2.

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