Aula 176 — Divisão de polinômios
50 minObjetivo geral
Dividir um polinômio por outro utilizando o método da chave (divisão longa), identificando quociente e resto e reconhecendo o critério de parada da divisão.
Objetivos específicos
- Aplicar o algoritmo da divisão longa de polinômios, termo a termo.
- Determinar quociente e resto de uma divisão polinomial.
- Reconhecer que a divisão termina quando o grau do resto é menor que o grau do divisor.
- Verificar o resultado de uma divisão conferindo que divisor×quociente+resto reproduz o dividendo.
Conhecimentos prévios
- Grau de um polinômio e operações entre polinômios, Módulo 10, Aula 175.
- Divisão euclidiana entre números inteiros (quociente e resto), Módulo 1.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula176_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha, para conferir quociente e resto digitando a divisão de polinômios diretamente.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor retoma a divisão euclidiana entre inteiros (ex.: 17÷5, quociente 3, resto 2, sempre resto<divisor) e pergunta se a mesma ideia vale para polinômios.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever a divisão de x3−2x2−4x−1 por (x−3) no quadro e perguntar: até quando continuar dividindo, quando parar? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): sem um critério claro, alunos param cedo demais (ainda dava pra continuar) ou tarde demais (o "resto" já tem grau maior ou igual ao do divisor, sinal de erro).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: no método da chave, divide-se o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, multiplica-se, subtrai-se e repete-se — parando quando o grau do resto for MENOR que o grau do divisor. Resolvendo a pergunta do Momento 2: x3−2x2−4x−1÷(x−3) dá quociente x2+x−1 e resto −4 (grau 0<grau 1 do divisor, correto parar aqui).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: dividir coletivamente x3−3x2+2x−5 por (x+1), obtendo quociente x2−4x+6 e resto −11. Em duplas: verificar o resultado calculando (x+1)(x2−4x+6)−11 e conferindo que reproduz x3−3x2+2x−5.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: divisão de polinômios segue a mesma lógica da divisão de inteiros — o resto sempre tem grau menor que o divisor.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Divida x3−2x2−4x−1 por (x−3).
Gabarito: Quociente x2+x−1, resto −4.
2. Divida x3−3x2+2x−5 por (x+1).
Gabarito: Quociente x2−4x+6, resto −11.
3. Ao dividir um polinômio de grau 5 por um de grau 2, qual o maior grau possível do resto?
Gabarito: Grau 1 (sempre menor que o grau 2 do divisor).
4. Divida 2x3+3x2−1 por (x+1).
Gabarito: Quociente 2x2+x−1, resto 0 (divisão exata).
5. Verifique a divisão x3−2x2−4x−1÷(x−3)=x2+x−1 com resto −4, calculando (x−3)(x2+x−1)−4.
Gabarito: (x−3)(x2+x−1)−4 = x3−2x2−4x+3−4 = x3−2x2−4x−1, confirma o dividendo original.