Aula 186 — Equações algébricas
50 minObjetivo geral
Resolver equações algébricas de grau maior que 2 combinando pesquisa de raízes racionais, divisão por Briot-Ruffini e redução de grau, encontrando TODAS as raízes até esgotar o polinômio.
Objetivos específicos
- Encontrar uma raiz de uma equação algébrica pelo Teorema das Raízes Racionais.
- Reduzir o grau da equação dividindo pela raiz encontrada, usando Briot-Ruffini.
- Repetir o processo (ou aplicar Bhaskara, se restar grau 2) até esgotar todas as raízes.
- Reconhecer que encontrar uma única raiz não resolve a equação por completo.
Conhecimentos prévios
- Dispositivo de Briot-Ruffini, Módulo 10, Aula 177.
- Pesquisa de raízes racionais, Módulo 10, Aula 184.
- Fórmula de Bhaskara, Módulo 9, Aula 166.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula186_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra CAS, para resolver a equação algébrica completa e conferir todas as raízes encontradas.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: encontrar uma raiz de uma equação de grau 3, como 2x3−3x2−3x+2=0, já resolve a equação por completo?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro: "x=−1 é raiz de 2x3−3x2−3x+2=0, equação resolvida" e perguntar: essa afirmação está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): uma equação de grau 3 tem até três raízes — encontrar uma só e parar deixa as outras duas de fora, mesmo que a primeira esteja certa.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para resolver uma equação algébrica de grau alto, encontra-se uma raiz (Teorema das Raízes Racionais), divide-se o polinômio por essa raiz (Briot-Ruffini) reduzindo o grau, e repete-se o processo — se restar grau 2, aplica-se Bhaskara. Resolvendo a pergunta do Momento 2: encontrada a raiz x=−1 (Aula 184), dividindo 2x3−3x2−3x+2 por (x+1) via Briot-Ruffini obtém-se quociente 2x2−5x+2; aplicando Bhaskara nesse quociente, Δ=25−16=9, x=(5±3)/4, dando x=2 e x=1/2 — as três raízes completas são −1, 2 e 1/2, confirmando as Aulas 184 e 185.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: refazer coletivamente a divisão de 2x3−3x2−3x+2 por (x+1) via Briot-Ruffini, conferindo o quociente 2x2−5x+2. Em duplas: aplicar Bhaskara nesse quociente e confirmar as raízes 2 e 1/2.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1 e 2: uma equação algébrica só está resolvida quando todas as raízes possíveis (até o grau original) foram encontradas — a primeira raiz é só o começo.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva completamente 2x3−3x2−3x+2=0, sabendo que x=−1 é uma raiz.
Gabarito: Dividindo por (x+1): quociente 2x2−5x+2. Aplicando Bhaskara: x=2 e x=1/2. Raízes completas: −1, 2 e 1/2.
2. Após dividir 2x3−3x2−3x+2 por (x+1) via Briot-Ruffini, qual o quociente?
Gabarito: 2x2−5x+2.
3. Aplicando Bhaskara em 2x2−5x+2=0, quais são as raízes?
Gabarito: Δ=25−16=9; x=(5±3)/4, dando x=2 e x=1/2.
4. Encontrar x=−1 como raiz de 2x3−3x2−3x+2=0 já resolve a equação por completo?
Gabarito: Não — a equação é de grau 3 e pode ter até três raízes; é preciso continuar reduzindo o grau até esgotar todas.
5. Resolva x3−6x2+11x−6=0, sabendo que x=1 é uma raiz.
Gabarito: Dividindo por (x−1): quociente x2−5x+6. Fatorando: (x−2)(x−3)=0, raízes 2 e 3. Raízes completas: 1, 2 e 3.