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Aula 185 — Decomposição de polinômios em fatores

50 min
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Objetivo geral

Decompor um polinômio em fatores do primeiro grau a partir de suas raízes, sem esquecer o coeficiente líder na fatoração.

Objetivos específicos

  • Escrever a fatoração completa P(x)=a(x−r1)(x−r2)...(x−rn), incluindo o coeficiente líder a.
  • Reconhecer que omitir o coeficiente líder produz um polinômio diferente do original.
  • Verificar a fatoração expandindo o produto e comparando com o polinômio original.
  • Fatorar um polinômio de grau 3 usando raízes já conhecidas.

Conhecimentos prévios

  • Pesquisa de raízes racionais, Módulo 10, Aula 184.
  • Fatoração por produtos notáveis, Módulo 5.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula185_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra CAS, para expandir a fatoração proposta e comparar com o polinômio original.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: sabendo as três raízes de um polinômio, basta escrever o produto dos binômios (x−raiz) pra reconstruir o polinômio original?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro: "as raízes de 2x3−3x2−3x+2 são −1, 2 e 1/2, então o polinômio é (x+1)(x−2)(x−1/2)" e perguntar: essa fatoração está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): expandir (x+1)(x−2)(x−1/2) dá um polinômio com coeficiente líder 1, mas o original tem coeficiente líder 2 — falta multiplicar pelo coeficiente líder a.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: a fatoração completa é P(x)=a(x−r1)(x−r2)...(x−rn), onde a é o coeficiente líder do polinômio original. Resolvendo a pergunta do Momento 2: a fatoração correta de 2x3−3x2−3x+2 é 2(x+1)(x−2)(x−1/2) — expandindo (x+1)(x−2)(x−1/2)=x3−1,5x2−1,5x+1, e multiplicando por 2, dá 2x3−3x2−3x+2, batendo com o original.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: expandir coletivamente 2(x+1)(x−2)(x−1/2) passo a passo, conferindo o resultado. Em duplas: fatorar completamente P(x)=3x2−3x−6, sabendo que suas raízes são 2 e −1 (não esquecer o coeficiente líder 3).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1 e 2: a fatoração por raízes só reconstrói o polinômio original se o coeficiente líder for incluído na frente do produto.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Fatore 2x3−3x2−3x+2, sabendo que suas raízes são −1, 2 e 1/2.

Gabarito: 2(x+1)(x−2)(x−1/2).

2. Expandindo (x+1)(x−2)(x−1/2) sem o coeficiente líder, qual polinômio se obtém?

Gabarito: x3−1,5x2−1,5x+1 — diferente do original 2x3−3x2−3x+2 (falta o fator 2).

3. Fatore P(x)=3x2−3x−6, sabendo que suas raízes são 2 e −1.

Gabarito: 3(x−2)(x+1).

4. Verifique a fatoração 3(x−2)(x+1) expandindo e comparando com 3x2−3x−6.

Gabarito: 3(x−2)(x+1)=3(x2−x−2)=3x2−3x−6, confirma.

5. Um polinômio de coeficiente líder 5 tem raízes 1, 2 e 3. Qual a fatoração completa?

Gabarito: 5(x−1)(x−2)(x−3).

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