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Aula 187 — Unidade imaginária e definição dos números complexos

50 min
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Objetivo geral

Compreender a definição da unidade imaginária i (i2=−1) e reconhecer que a regra do produto de radicais não se aplica quando ambos os radicandos são negativos.

Objetivos específicos

  • Definir a unidade imaginária i, tal que i2=−1.
  • Escrever raízes quadradas de números negativos usando i.
  • Reconhecer que √a·√b=√(ab) só vale quando a e b não são simultaneamente negativos.
  • Calcular corretamente produtos de raízes de números negativos, usando i em vez da regra usual.

Conhecimentos prévios

  • Raízes quadradas de números positivos, Módulo 3.
  • Conjuntos numéricos (reais, racionais, irracionais), Módulo 3.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula187_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra, para conferir cálculos com a unidade imaginária i digitando expressões.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: √(−4)·√(−9) é igual a √((−4)×(−9))=√36=6, usando a regra normal de radicais?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro os dois caminhos: "√(−4)·√(−9)=√36=6" versus "√(−4)=2i, √(−9)=3i, logo 2i·3i=6i2=−6" e perguntar: os dois dão o mesmo resultado? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): a regra √a·√b=√(ab) foi criada para radicais de números NÃO negativos — aplicá-la a dois negativos ao mesmo tempo dá um resultado errado.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: define-se i tal que i2=−1; √(−n) (para n>0) escreve-se como i√n. Resolvendo a pergunta do Momento 2: o caminho correto é √(−4)=2i e √(−9)=3i, então 2i·3i=6i2=6×(−1)=−6 — diferente do 6 obtido pela regra usual, que não vale aqui.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente √(−16)·√(−25) pelos dois caminhos, conferindo que dão resultados diferentes (correto: −20; regra usual incorreta: 20). Em duplas: escrever √(−1), √(−9) e √(−49) usando i.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: a regra do produto de radicais falha quando os dois radicandos são negativos — o caminho seguro é sempre passar por i primeiro.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva √(−4) usando a unidade imaginária i.

Gabarito: √(−4)=2i.

2. Calcule √(−4)·√(−9) usando i (não a regra do produto de radicais).

Gabarito: 2i·3i=6i2=−6.

3. Calcule √((−4)×(−9)) diretamente, sem passar por i.

Gabarito: √36=6 — resultado DIFERENTE de −6, mostrando que a regra não vale para dois radicandos negativos.

4. Escreva √(−49) usando i.

Gabarito: √(−49)=7i.

5. Calcule √(−16)·√(−25) usando i.

Gabarito: 4i·5i=20i2=−20.

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