Aula 198 — Radiciação de números complexos
50 minObjetivo geral
Calcular as raízes n-ésimas de um número complexo, reconhecendo que existem exatamente n raízes distintas, igualmente espaçadas no plano de Argand-Gauss.
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula das raízes n-ésimas: para cada k=0,...,n−1, uma raiz com módulo r^(1/n) e argumento (θ+360°k)/n.
- Calcular as n raízes n-ésimas de um número complexo, uma para cada valor de k.
- Reconhecer que, ao contrário dos reais, um complexo não-nulo sempre tem exatamente n raízes n-ésimas distintas.
- Verificar uma raiz encontrada elevando-a de volta à potência n.
Conhecimentos prévios
- Fórmula de De Moivre (potenciação), Módulo 11, Aula 197.
- Raízes reais e complexas de polinômios, Módulo 10, Aula 181.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula198_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra (Plano de Argand-Gauss), para visualizar as raízes n-ésimas igualmente espaçadas no plano.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: quantas raízes cúbicas tem o número 8i — só uma, como nos números reais?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "a raiz cúbica de 8i é só um número" e perguntar: essa afirmação está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): nos complexos, todo número não-nulo tem exatamente n raízes n-ésimas distintas — não apenas uma, como costuma acontecer com a raiz real.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: as n raízes n-ésimas de z=r(cosθ+isenθ) têm módulo r^(1/n) e argumentos (θ+360°k)/n, para k=0,1,...,n−1. Resolvendo a pergunta do Momento 2: 8i=8(cos90°+isen90°) tem três raízes cúbicas (n=3): módulo 8^(1/3)=2, argumentos (90°+360°k)/3 para k=0,1,2, dando 30°, 150° e 270° — as raízes são √3+i, −√3+i e −2i, TRÊS raízes distintas, não uma só.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que (√3+i)3=8i, elevando ao cubo (reencontrando a Aula 197). Em duplas: verificar que (−2i)3=8i também.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: 8i tem três raízes cúbicas distintas, não uma só — a fórmula das raízes n-ésimas sempre dá n raízes.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quantas raízes cúbicas distintas tem um número complexo não-nulo?
Gabarito: Exatamente três (n=3).
2. Calcule o módulo das raízes cúbicas de 8i.
Gabarito: 8^(1/3)=2.
3. Calcule os argumentos das três raízes cúbicas de 8i (θ=90°).
Gabarito: (90°+360°k)/3 para k=0,1,2: 30°, 150° e 270°.
4. Escreva as três raízes cúbicas de 8i na forma algébrica.
Gabarito: √3+i (30°), −√3+i (150°) e −2i (270°).
5. Verifique que (−2i)3=8i.
Gabarito: (−2i)3=−8i3=−8(i2·i)=−8(−1·i)=8i, confirma.