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Aula 197 — Potenciação de complexos e Fórmula de De Moivre

50 min
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Objetivo geral

Aplicar a Fórmula de De Moivre para calcular potências de números complexos na forma trigonométrica, elevando o módulo à potência e multiplicando o argumento.

Objetivos específicos

  • Enunciar a Fórmula de De Moivre: zn=rn[cos(nθ)+isen(nθ)].
  • Elevar o módulo r à potência n ao calcular zn.
  • Multiplicar o argumento θ por n ao calcular zn.
  • Reconhecer que esquecer de elevar r a n é um erro comum ao aplicar a fórmula.

Conhecimentos prévios

  • Multiplicação de complexos na forma trigonométrica, Módulo 11, Aula 196.
  • Potenciação (expoentes inteiros), Módulo 4.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula197_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra (Plano de Argand-Gauss), para conferir potências de números complexos.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: para z=2(cos30°+isen30°), calcular z3 é só multiplicar o ângulo por 3, dando 2(cos90°+isen90°)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro "z3=2(cos90°+isen90°)" e perguntar: esse resultado está certo? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): De Moivre multiplica o ângulo por n, MAS também eleva o módulo r à potência n — esquecer de elevar r é um erro comum.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: zn=rn[cos(nθ)+isen(nθ)] — o módulo vai à potência n, o argumento é multiplicado por n. Resolvendo a pergunta do Momento 2: z3=23(cos90°+isen90°)=8(cos90°+isen90°)=8i — o módulo 2 precisa virar 23=8, não continuar 2.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente z4 para z=1(cos45°+isen45°) (módulo 1, então 14=1 não muda — bom contraste). Em duplas: calcular w2 para w=3(cos60°+isen60°), evidenciando que o módulo 3 precisa virar 32=9.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: De Moivre eleva o módulo à potência E multiplica o argumento — os dois passos, sempre juntos.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Calcule z3 para z=2(cos30°+isen30°).

Gabarito: z3=23(cos90°+isen90°)=8(cos90°+isen90°)=8i.

2. Calcule z4 para z=1(cos45°+isen45°).

Gabarito: z4=14(cos180°+isen180°)=1(cos180°+isen180°)=−1.

3. Calcule w2 para w=3(cos60°+isen60°).

Gabarito: w2=32(cos120°+isen120°)=9(cos120°+isen120°).

4. Encontre o erro: "z3=2(cos90°+isen90°)" para z=2(cos30°+isen30°).

Gabarito: Falta elevar o módulo a 3: o correto é 23=8, não continuar com 2.

5. Por que z4=1 para z=1(cos45°+isen45°) não evidencia o erro de esquecer a potência do módulo?

Gabarito: Porque 1 elevado a qualquer potência continua 1 — o erro só fica visível quando o módulo é diferente de 1.

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