Aula 226 — Comportamento e gráfico de funções polinomiais
50 minObjetivo geral
Analisar o comportamento do gráfico de uma função polinomial nas extremidades (x→±∞), reconhecendo que depende do grau (par/ímpar) e do sinal do coeficiente líder, não do número de raízes.
Objetivos específicos
- Reconhecer os quatro padrões de comportamento nas extremidades: grau par/ímpar combinado com coeficiente líder positivo/negativo.
- Determinar o comportamento nas extremidades a partir do grau e do sinal do coeficiente líder.
- Reconhecer que duas funções com as mesmas raízes reais podem ter comportamentos de extremidade completamente diferentes.
- Esboçar o formato geral do gráfico combinando raízes e comportamento nas extremidades.
Conhecimentos prévios
- Funções polinomiais de grau superior, Módulo 13, Aula 225.
- Raízes de polinômios (multiplicidade), Módulo 10, Aula 182.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula226_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator, para comparar os gráficos de f(x)=x3−x e g(x)=x4−x2.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: f(x)=x3−x e g(x)=x4−x2 têm exatamente as mesmas raízes reais (−1, 0 e 1) — então seus gráficos têm o mesmo comportamento nas pontas?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro as raízes idênticas de f e g e perguntar: como têm as mesmas raízes, os gráficos se comportam igual longe da origem? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): o comportamento nas extremidades (pontas do gráfico) NÃO depende das raízes — depende do grau (par ou ímpar) e do sinal do coeficiente líder.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: grau par com a>0: as duas pontas sobem; grau par com a<0: as duas pontas descem; grau ímpar com a>0: esquerda desce, direita sobe; grau ímpar com a<0: esquerda sobe, direita desce. Resolvendo a pergunta do Momento 2: f(x)=x3−x (grau 3, ímpar, a>0): f(−2)=−6 (desce à esquerda), f(2)=6 (sobe à direita); g(x)=x4−x2 (grau 4, par, a>0): g(−2)=12 e g(2)=12 (as DUAS pontas sobem) — comportamentos bem diferentes, apesar das mesmas raízes.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente f(−3) e f(3) para f(x)=x3−x, confirmando o padrão de grau ímpar. Em duplas: calcular g(−3) e g(3) para g(x)=x4−x2, confirmando o padrão de grau par.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: mesmo com raízes idênticas, o comportamento nas pontas é diferente — depende do grau e do sinal do coeficiente líder, nunca das raízes.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Para f(x)=x3−x (grau 3, ímpar, a=1>0), qual o comportamento nas extremidades?
Gabarito: Esquerda desce, direita sobe (grau ímpar, a>0).
2. Para g(x)=x4−x2 (grau 4, par, a=1>0), qual o comportamento nas extremidades?
Gabarito: As duas pontas sobem (grau par, a>0).
3. f(x)=x3−x e g(x)=x4−x2 têm as mesmas raízes reais. Isso garante o mesmo comportamento nas pontas?
Gabarito: Não — o comportamento nas pontas depende do grau e do coeficiente líder, não das raízes.
4. Qual o comportamento nas extremidades de h(x)=−x5+x?
Gabarito: Grau 5 (ímpar), a=−1<0: esquerda sobe, direita desce.
5. Qual o comportamento nas extremidades de k(x)=−2x4+3x2?
Gabarito: Grau 4 (par), a=−2<0: as duas pontas descem.