Aula 247 — Aplicações de funções exponenciais e logarítmicas
50 minObjetivo geral
Aplicar funções exponenciais e logarítmicas na modelagem de situações reais, usando logaritmo para "descer" a variável do expoente.
Objetivos específicos
- Modelar situações de crescimento ou decaimento exponencial (juros compostos, meia-vida, população).
- Usar logaritmo para isolar uma variável que está no expoente.
- Resolver problemas aplicados combinando exponencial e logaritmo.
- Interpretar o resultado no contexto do problema original.
Conhecimentos prévios
- Equações exponenciais, Módulo 15, Aula 237.
- Logaritmo: definição, Módulo 15, Aula 239.
- Juros compostos, Módulo 8, Aula 143 (ou correlato).
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula247_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Calculadora científica, para calcular logaritmos em problemas de aplicação.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: num problema em que a incógnita está no EXPOENTE, como "quantos anos até o capital dobrar", dá pra isolar essa variável só com álgebra comum?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro a equação 1000·(1,1)t=2000 e perguntar: como isolar t, que está no expoente? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): operações algébricas comuns (somar, dividir) não conseguem "descer" uma variável do expoente — é exatamente para isso que existe o logaritmo, a ferramenta certa para essa situação.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: aplicando log nos dois lados de at=k, usa-se a propriedade da potência (Aula 241) para trazer t pra fora: log(at)=t·log(a). Resolvendo a pergunta do Momento 2: 1000(1,1)t=2000 → (1,1)t=2 → aplicando log: t·log(1,1)=log(2) → t=log(2)/log(1,1)≈7,27 anos.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente um problema de meia-vida: uma substância com meia-vida de 5 anos, quanto tempo até restar 1/4 da quantidade inicial (resposta: 2 meias-vidas, 10 anos, sem precisar nem de log neste caso particular). Em duplas: resolver quanto tempo até restar 1/3 da quantidade inicial, usando log (não é múltiplo exato de meias-vidas).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: álgebra comum não isola uma variável no expoente — é exatamente para isso que o logaritmo foi criado, e é a ferramenta certa para esse tipo de problema.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva 1000·(1,1)t=2000 para t.
Gabarito: (1,1)t=2 → t=log(2)/log(1,1)≈7,27.
2. Por que álgebra comum (somar, dividir) não resolve uma equação com a incógnita no expoente?
Gabarito: Porque essas operações não conseguem isolar uma variável que está no expoente — só o logaritmo faz isso.
3. Uma substância tem meia-vida de 5 anos. Quanto tempo até restar 1/4 da quantidade inicial?
Gabarito: 2 meias-vidas: 10 anos (1/4 = 1/2 × 1/2).
4. Escreva a equação para "quanto tempo até restar 1/3 de uma substância com meia-vida de 5 anos" usando log.
Gabarito: (1/2)^(t/5)=1/3 → (t/5)·log(1/2)=log(1/3) → t=5·log(1/3)/log(1/2).
5. Qual propriedade dos logaritmos permite "descer" o expoente t de at?
Gabarito: A propriedade da potência: log(at)=t·log(a).