Aula 246 — Inequações logarítmicas
50 minObjetivo geral
Resolver inequações logarítmicas, combinando o sentido da desigualdade (que depende da base) com as condições de existência do logaritmando.
Objetivos específicos
- Reconhecer que, se a>1, loga(x) é crescente e mantém o sentido da desigualdade.
- Reconhecer que, se 0<a<1, loga(x) é decrescente e inverte o sentido da desigualdade.
- Aplicar simultaneamente a condição de existência (logaritmando>0) como restrição adicional.
- Combinar as duas condições (sentido da desigualdade e existência) para obter a solução final.
Conhecimentos prévios
- Inequações exponenciais, Módulo 15, Aula 238.
- Condições de existência dos logaritmos, Módulo 15, Aula 240.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula246_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Lista de inequações logarítmicas de dificuldade crescente.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: resolvendo log2(x)>log2(3), basta concluir x>3, sem checar mais nada?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "log2(x)>log2(3), então x>3, resolvido" e perguntar: essa resposta está completa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): além do sentido da desigualdade (que aqui se mantém, pois a base 2>1), é preciso combinar com a condição de existência do logaritmando — nesse caso elas coincidem, mas em outros casos a condição de existência restringe ainda mais a resposta.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: primeiro aplica-se o sentido da desigualdade conforme a base (mantém se a>1, inverte se 0<a<1); depois, combina-se com a condição logaritmando>0. Resolvendo a pergunta do Momento 2: log2(x)>log2(3) dá x>3 (base>1, mantém sentido) — e x>3 já garante x>0, então a resposta final é mesmo x>3, mas o passo de conferir a condição de existência não pode ser pulado.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente log0,5(x)>log0,5(4) (base<1, inverte: 0<x<4, combinando com x>0). Em duplas: resolver log2(x−1)>log2(3), combinando a inversão de sentido (se aplicável) com x−1>0.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sempre confira as DUAS coisas — o sentido da desigualdade (que depende da base) E a condição de existência do logaritmando, mesmo quando parecem coincidir.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva log2(x)>log2(3).
Gabarito: Base 2>1, mantém o sentido: x>3 (e já satisfaz x>0).
2. Resolva log0,5(x)>log0,5(4).
Gabarito: Base 0,5<1, inverte o sentido: x<4; combinando com x>0: 0<x<4.
3. Resolva log2(x−1)>log2(3).
Gabarito: Base 2>1, mantém: x−1>3 → x>4; e a condição de existência x−1>0 já é satisfeita por x>4.
4. Ao resolver uma inequação logarítmica, quais dois cuidados são obrigatórios?
Gabarito: Verificar o sentido da desigualdade conforme a base, e verificar a condição de existência do logaritmando.
5. Por que a condição de existência pode restringir ainda mais a solução, mesmo depois de aplicar o sentido correto da desigualdade?
Gabarito: Porque o logaritmando precisa ser positivo independentemente do resultado da comparação — às vezes essa condição corta parte do intervalo encontrado.