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Aula 257 — Soma dos termos de uma PG infinita

50 min
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Objetivo geral

Calcular a soma dos termos de uma PG infinita, reconhecendo que ela só converge (existe) quando |q|<1.

Objetivos específicos

  • Enunciar a fórmula da soma da PG infinita: S=a1/(1−q), válida somente para |q|<1.
  • Reconhecer que, se |q|≥1, a soma da PG infinita diverge (não existe soma finita).
  • Calcular a soma de PGs infinitas convergentes.
  • Aplicar a soma da PG infinita na conversão de dízimas periódicas em frações.

Conhecimentos prévios

  • Soma dos termos de uma PG finita, Módulo 16, Aula 256.
  • Dízimas periódicas e frações geratrizes, Módulo 2.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula257_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra CAS, para visualizar a soma parcial de uma PG infinita se aproximando de um valor.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: toda PG infinita tem uma soma que dá um número finito?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro a PG infinita com a1=1, q=2 (1,2,4,8,16,...) e perguntar: essa soma converge para algum número? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): a soma de uma PG infinita só converge (existe como número finito) quando |q|<1 — se |q|≥1, os termos não diminuem o suficiente, e a soma cresce sem limite (diverge).

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: para |q|<1, S=a1/(1−q); para |q|≥1, a soma não existe (diverge). Resolvendo a pergunta do Momento 2: com a1=1, q=2 (|q|=2≥1), a soma 1+2+4+8+... cresce indefinidamente, sem convergir — diferente de a1=1, q=0,5 (1+0,5+0,25+...), que converge para S=1/(1−0,5)=2.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente a soma da PG infinita com a1=4, q=0,25 (S=4/(1−0,25)=4/0,75≈5,33). Em duplas: usar a soma da PG infinita para converter a dízima 0,333... em fração (a1=3/10, q=1/10, S=(3/10)/(1−1/10)=(3/10)/(9/10)=1/3).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não é toda PG infinita — só converge quando |q|<1; com q=2, a soma simplesmente não existe.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. A soma da PG infinita 1+2+4+8+... converge?

Gabarito: Não — a razão q=2 tem |q|≥1, então a soma diverge (não existe soma finita).

2. Calcule a soma da PG infinita 1+0,5+0,25+0,125+...

Gabarito: S=1/(1−0,5)=1/0,5=2.

3. Calcule a soma da PG infinita com a1=4, q=0,25.

Gabarito: S=4/(1−0,25)=4/0,75≈5,33.

4. Para qual valores de q a soma de uma PG infinita converge?

Gabarito: |q|<1 (razão entre −1 e 1, excluindo os extremos).

5. Converta a dízima 0,333... em fração usando soma de PG infinita.

Gabarito: a1=3/10, q=1/10: S=(3/10)/(1−1/10)=(3/10)/(9/10)=3/9=1/3.

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