Aula 256 — Soma dos termos de uma PG finita
50 minObjetivo geral
Calcular a soma dos termos de uma PG finita usando a fórmula Sn=a1·(qn−1)/(q−1), reconhecendo que ela não se aplica quando q=1.
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita: Sn=a1·(qn−1)/(q−1), para q≠1.
- Calcular a soma de uma PG finita a partir do primeiro termo, da razão e do número de termos.
- Reconhecer que, quando q=1, a fórmula gera uma divisão por zero, e a soma deve ser calculada de outra forma (Sn=a1·n).
- Verificar o resultado somando os termos diretamente em casos pequenos.
Conhecimentos prévios
- Termo geral da PG, Módulo 16, Aula 254.
- Soma dos termos de uma PA, Módulo 16, Aula 252.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula256_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Planilha eletrônica, para somar os termos de uma PG e conferir com a fórmula.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a fórmula Sn=a1·(qn−1)/(q−1) funciona para qualquer razão q, incluindo q=1?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro a fórmula com q=1 substituído no denominador (q−1=0) e perguntar: o que acontece nesse caso? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): quando q=1, o denominador (q−1) vira ZERO — a fórmula não pode ser usada; nesse caso especial, todos os termos são iguais a a1, e a soma é simplesmente Sn=a1×n.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: Sn=a1·(qn−1)/(q−1), válida para q≠1; quando q=1, a PG é constante (todos os termos iguais a a1), e a soma é Sn=a1×n diretamente. Resolvendo a pergunta do Momento 2: para a1=3, q=2, n=5 (3,6,12,24,48): Sn=3×(25−1)/(2−1)=3×31/1=93, confirmando somando direto: 3+6+12+24+48=93.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente a soma dos 4 primeiros termos de a1=5, q=1 (todos os termos são 5, soma=5×4=20, sem usar a fórmula geral). Em duplas: calcular a soma dos 6 primeiros termos de a1=2, q=3.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: a fórmula não funciona com q=1 (divisão por zero) — nesse caso especial, a soma é só a1 multiplicado por n.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule a soma dos 5 primeiros termos de a1=3, q=2.
Gabarito: Sn=3×(25−1)/(2−1)=3×31=93.
2. Confirme somando diretamente os termos 3,6,12,24,48.
Gabarito: 3+6+12+24+48=93 — confirma.
3. Por que a fórmula Sn=a1·(qn−1)/(q−1) não pode ser usada quando q=1?
Gabarito: Porque o denominador (q−1) seria zero, uma divisão indefinida.
4. Calcule a soma dos 4 primeiros termos de uma PG com a1=5 e q=1.
Gabarito: Todos os termos são 5 (PG constante); soma=5×4=20.
5. Calcule a soma dos 6 primeiros termos de a1=2, q=3.
Gabarito: Sn=2×(36−1)/(3−1)=2×728/2=728.