Aula 275 — Teorema da Multiplicação
50 minObjetivo geral
Aplicar o Teorema da Multiplicação P(A∩B)=P(A)×P(B|A), válido mesmo quando os eventos são dependentes.
Objetivos específicos
- Enunciar o Teorema da Multiplicação: P(A∩B)=P(A)×P(B|A).
- Aplicar o teorema a sorteios sem reposição (eventos dependentes).
- Reconhecer que a versão simplificada P(A∩B)=P(A)×P(B) só vale no caso particular de independência.
- Calcular probabilidades de sequências de eventos dependentes.
Conhecimentos prévios
- Probabilidade condicional, Aula 273.
- Eventos independentes, Aula 274.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula275_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra Probability Calculator, para visualizar a árvore de probabilidades de sorteios sucessivos sem reposição.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: caixa com 3V e 2A, sorteio de 2 bolas SEM reposição. Dá pra calcular P(as duas vermelhas) fazendo P(1ª vermelha)×P(2ª vermelha)=3/5×3/5?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro esse cálculo e perguntar se está certo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar a fórmula simplificada do caso independente (P(A)×P(B)) mesmo sabendo que, sem reposição, os eventos são DEPENDENTES — essa fórmula não se aplica aqui.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o Teorema da Multiplicação (geral, vale sempre) é P(A∩B)=P(A)×P(B|A). Resolvendo a pergunta do Momento 2: P(1ª vermelha)=3/5, P(2ª vermelha|1ª vermelha)=2/4 (Aula 273). P(ambas vermelhas)=3/5×2/4=6/20=3/10, não 9/25 (que usaria a fórmula errada de independência).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: na mesma caixa, calcular coletivamente P(1ª azul ∩ 2ª vermelha)=P(1ª azul)×P(2ª vermelha|1ª azul)=2/5×3/4=6/20=3/10. Em duplas: calcular P(1ª vermelha ∩ 2ª azul)=3/5×2/4=6/20=3/10.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: P(ambas vermelhas, sem reposição)=3/10, calculado com P(B|A) — a fórmula de independência (9/25) não vale aqui.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Caixa 3V e 2A, sem reposição. Calcule P(ambas vermelhas).
Gabarito: P(1ª vermelha)×P(2ª vermelha|1ª vermelha)=3/5×2/4=3/10.
2. Mesma caixa. Calcule P(1ª azul ∩ 2ª vermelha).
Gabarito: 2/5×3/4=3/10.
3. Mesma caixa. Calcule P(1ª vermelha ∩ 2ª azul).
Gabarito: 3/5×2/4=3/10.
4. Por que P(A∩B)=P(A)×P(B) (sem condicional) não vale para sorteios sem reposição?
Gabarito: Porque, sem reposição, os eventos são dependentes — essa fórmula simplificada só vale no caso particular de independência; o caso geral exige P(B|A).
5. Encontre o erro: "sem reposição, P(ambas vermelhas) = 3/5×3/5 = 9/25."
Gabarito: Errado: sem reposição os eventos são dependentes; o correto é P(1ª vermelha)×P(2ª vermelha|1ª vermelha)=3/5×2/4=3/10.