Aula 276 — Teorema da Probabilidade Total
50 minObjetivo geral
Aplicar o Teorema da Probabilidade Total, reconhecendo a necessidade de ponderar cada cenário pela sua própria probabilidade.
Objetivos específicos
- Enunciar o Teorema da Probabilidade Total para uma partição em 2 cenários: P(A)=P(C1)×P(A|C1)+P(C2)×P(A|C2).
- Aplicar o teorema a problemas com mais de uma "fonte" possível de um evento.
- Reconhecer que uma média simples, sem ponderar pela probabilidade de cada cenário, produz um resultado errado quando os cenários não são igualmente prováveis.
- Identificar os cenários (partição) de um problema antes de aplicar o teorema.
Conhecimentos prévios
- Teorema da Multiplicação, Aula 275.
- Probabilidade condicional, Aula 273.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula276_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra Probability Calculator, para montar a árvore de probabilidades com os dois cenários e visualizar a ponderação de cada ramo.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: há 2 caixas — Caixa 1 (3V,2A) e Caixa 2 (1V,4A). Escolhe-se uma caixa (60% de chance para a Caixa 1, 40% para a Caixa 2) e dela tira-se uma bola. A chance de sair vermelha é a média simples entre 3/5 e 1/5, ou seja, 2/5?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "(3/5+1/5)/2=2/5?" e perguntar se esse cálculo está certo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): calcular uma média simples das duas probabilidades condicionais, ignorando que as caixas não são igualmente prováveis de serem escolhidas (60% x 40%, não 50% x 50%).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o Teorema da Probabilidade Total é P(A)=P(C1)×P(A|C1)+P(C2)×P(A|C2), ponderando cada cenário pela SUA probabilidade de ocorrer. Resolvendo a pergunta do Momento 2: P(vermelha)=0,6×0,6+0,4×0,2=0,36+0,08=0,44, não 0,4 — a média simples ignorava que a Caixa 1, com maior chance de dar vermelha, também é a mais escolhida.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: recalcular coletivamente P(azul) pela mesma partição: 0,6×0,4+0,4×0,8=0,24+0,32=0,56 (conferindo: 0,44+0,56=1). Em duplas: recalcular P(vermelha) supondo as caixas escolhidas 50%-50%: 0,5×0,6+0,5×0,2=0,4 (aí sim bate com a média simples, só porque as chances de escolha ficaram iguais).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: P(vermelha)=0,44, não 0,4 — a média simples só funcionaria se as duas caixas tivessem a mesma chance de ser escolhidas.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Caixa 1 (3V,2A) escolhida com 60%, Caixa 2 (1V,4A) com 40%. Calcule P(vermelha).
Gabarito: 0,6×0,6+0,4×0,2=0,44.
2. Nas mesmas condições, calcule P(azul).
Gabarito: 0,6×0,4+0,4×0,8=0,56.
3. Confira que P(vermelha)+P(azul)=1 no exercício anterior.
Gabarito: 0,44+0,56=1.
4. Se as duas caixas tivessem 50% de chance cada uma de ser escolhida, qual seria P(vermelha)?
Gabarito: 0,5×0,6+0,5×0,2=0,4.
5. Encontre o erro: "com Caixa 1 a 60% e Caixa 2 a 40%, a chance de vermelha é a média simples (0,6+0,2)/2=0,4."
Gabarito: Errado: é preciso ponderar cada caixa pela sua própria probabilidade de ser escolhida: 0,6×0,6+0,4×0,2=0,44, não 0,4.