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Aula 279 — Distribuição binomial

50 min
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Objetivo geral

Aplicar a fórmula da distribuição binomial P(X=k)=C(n,k)×pk×(1-p)^(n-k), reconhecendo a necessidade do fator combinatório C(n,k).

Objetivos específicos

  • Enunciar a fórmula da distribuição binomial para n ensaios de Bernoulli independentes.
  • Calcular a probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios.
  • Reconhecer que calcular só pk×(1-p)^(n-k), sem o fator C(n,k), subestima a probabilidade por ignorar as diferentes ordens possíveis dos sucessos.
  • Verificar quando um problema se encaixa no modelo binomial (ensaios de Bernoulli, Aula 278).

Conhecimentos prévios

  • Ensaios de Bernoulli, Aula 278.
  • Combinação simples, Módulo 17, Aula 264.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula279_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra Probability Calculator, para visualizar o gráfico da distribuição binomial e como ele muda com n e p.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: numa caixa com 3V e 2A, tirando 5 bolas COM reposição, a chance de sair exatamente 3 vermelhas é só (3/5)3×(2/5)2?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro esse cálculo e perguntar se está completo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): calcular apenas pk×(1-p)^(n-k), esquecendo que existem VÁRIAS ordens possíveis de obter exatamente k sucessos em n ensaios (por exemplo, VVVAA é uma ordem, mas VAVAV é outra) — cada ordem tem a mesma probabilidade, mas são resultados distintos que precisam ser somados.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: a fórmula da binomial é P(X=k)=C(n,k)×pk×(1-p)^(n-k), onde C(n,k) conta quantas ORDENS diferentes dão exatamente k sucessos entre n ensaios. Resolvendo a pergunta do Momento 2: P(X=3)=C(5,3)×(3/5)3×(2/5)2=10×0,216×0,16=0,3456, bem maior que só (3/5)3×(2/5)2=0,03456 (dez vezes menor, já que há C(5,3)=10 ordens possíveis).

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente P(X=0) (nenhuma vermelha em 5 tiradas com reposição)=C(5,0)×(3/5)0×(2/5)5=1×1×0,01024=0,01024. Em duplas: calcular P(X=5) (todas vermelhas)=C(5,5)×(3/5)5×(2/5)0=1×0,07776×1=0,07776.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: P(X=3)=0,3456, não 0,03456 — esquecer o C(n,k) faz perder o fator 10 correspondente às diferentes ordens possíveis.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Caixa 3V/2A, 5 tiradas com reposição. Calcule P(X=3) (exatamente 3 vermelhas).

Gabarito: C(5,3)×(3/5)3×(2/5)2=10×0,216×0,16=0,3456.

2. Nas mesmas condições, calcule P(X=0) (nenhuma vermelha).

Gabarito: C(5,0)×(3/5)0×(2/5)5=0,01024.

3. Nas mesmas condições, calcule P(X=5) (todas vermelhas).

Gabarito: C(5,5)×(3/5)5×(2/5)0=0,07776.

4. Por que a fórmula binomial precisa do fator C(n,k)?

Gabarito: Porque existem C(n,k) ordens diferentes de obter exatamente k sucessos entre n ensaios, e cada ordem tem a mesma probabilidade pk(1-p)^(n-k); é preciso somar todas elas.

5. Encontre o erro: "a chance de exatamente 3 vermelhas em 5 tiradas é (3/5)3×(2/5)2=0,03456."

Gabarito: Errado: falta multiplicar por C(5,3)=10 (as ordens possíveis); o valor correto é 0,3456.

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