Aula 299 — Variância
50 minObjetivo geral
Calcular a variância de um conjunto de dados, reconhecendo por que os desvios precisam ser elevados ao quadrado antes de somados.
Objetivos específicos
- Definir variância como a média dos quadrados dos desvios em relação à média.
- Reconhecer que a soma dos desvios simples (sem elevar ao quadrado) é sempre zero, por definição de média.
- Calcular a variância de um conjunto de dados.
- Diferenciar variância (em unidades ao quadrado) de desvio médio (em unidades originais).
Conhecimentos prévios
- Amplitude e desvio médio, Módulo 19, Aula 298.
- Potenciação, Módulo 4.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula299_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Google Sheets, para organizar dados e gerar gráficos/medidas automaticamente.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para medir a dispersão das notas, dá pra somar direto os desvios (nota - média) de cada aluno, sem elevar ao quadrado?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro os desvios das notas 4,5,6,6,7,7,7,8,9,10 (média 6,9) e somar diretamente, sem módulo nem quadrado. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): somar os desvios simples (nota-média) esperando um resultado que descreva a dispersão — mas essa soma é SEMPRE zero, por definição de média (os desvios positivos e negativos se cancelam exatamente).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: variância = média dos QUADRADOS dos desvios, Σ(x-média)2/n. Elevar ao quadrado resolve o problema do cancelamento, já que todo quadrado é positivo. Resolvendo a pergunta do Momento 2: a soma dos desvios simples das notas é 0 (por definição de média) — não serve para medir dispersão; é preciso elevar ao quadrado antes de somar: variância=Σ(x-6,9)2/10=2,89.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que a soma dos desvios simples das notas realmente dá zero (positivos e negativos se cancelando). Em duplas: calcular a variância de um conjunto simples, como 2,4,6 (média=4): desvios -2,0,2; quadrados 4,0,4; variância=(4+0+4)/3≈2,67.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a soma dos desvios simples é sempre zero; é preciso elevar ao quadrado antes de somar, o que dá a variância.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Por que a soma dos desvios simples (x-média) de qualquer conjunto de dados é sempre zero?
Gabarito: Porque, por definição de média, os desvios positivos e negativos se cancelam exatamente.
2. Calcule a variância do conjunto 2,4,6 (média=4).
Gabarito: Desvios -2,0,2; quadrados 4,0,4; variância=(4+0+4)/3≈2,67.
3. Calcule a variância das notas 4,5,6,6,7,7,7,8,9,10 (média=6,9).
Gabarito: Variância=Σ(x-6,9)2/10=2,89.
4. Em que unidade fica expressa a variância, em relação aos dados originais?
Gabarito: Em unidades ao quadrado (ex.: se os dados são em pontos, a variância fica em pontos2).
5. Encontre o erro: "para medir a dispersão das notas, basta somar direto os desvios (nota-média) de cada aluno."
Gabarito: Errado: essa soma é sempre zero, por definição de média; é preciso elevar os desvios ao quadrado antes de somar.