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Aula 316 — Propriedades dos determinantes

50 min
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Objetivo geral

Aplicar propriedades dos determinantes, reconhecendo que det(A+B)≠det(A)+det(B) em geral.

Objetivos específicos

  • Verificar numericamente que det(A+B) geralmente NÃO é igual a det(A)+det(B).
  • Verificar a propriedade det(A×B)=det(A)×det(B).
  • Verificar a propriedade det(k×A)=kn×det(A), para uma matriz de ordem n.
  • Usar essas propriedades para simplificar cálculos, quando aplicável.

Conhecimentos prévios

  • Determinante de matriz de ordem 2, Módulo 20, Aula 313.
  • Multiplicação de matrizes, Módulo 20, Aula 310.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula316_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Wolfram Alpha, para verificar operações e determinantes de matrizes.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: para A=[[1,2],[3,4]] e B=[[5,6],[7,8]], det(A+B) é igual a det(A)+det(B)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever "det(A+B)=det(A)+det(B)?" no quadro e propor votação. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que o determinante se comporta como uma operação "linear simples" em relação à soma de matrizes — mas det(A+B) NÃO é, em geral, igual a det(A)+det(B), diferente do que aconteceria com operações como transposição ou multiplicação por escalar.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: det(A)=-2, det(B)=-2, então det(A)+det(B)=-4; mas A+B=[[6,8],[10,12]], com det(A+B)=6×12-8×10=72-80=-8. Resolvendo a pergunta do Momento 2: -8≠-4 — det(A+B)≠det(A)+det(B), confirmando que essa propriedade NÃO vale em geral.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: verificar coletivamente que det(A×B)=det(A)×det(B): det(A×B)=det([[19,22],[43,50]])=19×50-22×43=950-946=4; det(A)×det(B)=(-2)×(-2)=4 — essa propriedade SIM vale. Em duplas: verificar det(3A)=32×det(A) (para matriz de ordem 2): det(3A)=det([[3,6],[9,12]])=3×12-6×9=36-54=-18; 32×det(A)=9×(-2)=-18 — confirma.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — det(A+B)≠det(A)+det(B) em geral; já det(A×B)=det(A)×det(B) e det(kA)=kn×det(A) são propriedades válidas.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Para A=[[1,2],[3,4]] e B=[[5,6],[7,8]], calcule det(A+B) e compare com det(A)+det(B).

Gabarito: det(A+B)=-8; det(A)+det(B)=-4 — são diferentes.

2. Verifique que det(A×B)=det(A)×det(B) para as mesmas matrizes.

Gabarito: det(A×B)=4; det(A)×det(B)=(-2)×(-2)=4 — são iguais.

3. Verifique que det(3A)=32×det(A) para A=[[1,2],[3,4]].

Gabarito: det(3A)=-18; 32×det(A)=9×(-2)=-18 — são iguais.

4. A propriedade det(A+B)=det(A)+det(B) é sempre verdadeira?

Gabarito: Não — em geral, det(A+B)≠det(A)+det(B).

5. Encontre o erro: "como det(A×B)=det(A)×det(B), também vale que det(A+B)=det(A)+det(B)."

Gabarito: Errado: a propriedade multiplicativa não se estende à soma; det(A+B) geralmente é diferente de det(A)+det(B).

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