Aula 318 — Sistemas lineares e representação matricial
50 minObjetivo geral
Representar um sistema linear na forma matricial AX=B, reconhecendo a necessidade de incluir coeficiente zero para variáveis ausentes numa equação.
Objetivos específicos
- Definir sistema linear como um conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas.
- Representar um sistema linear na forma matricial AX=B (matriz de coeficientes × vetor de incógnitas = vetor de constantes).
- Incluir corretamente o coeficiente zero quando uma variável não aparece numa equação.
- Ler um sistema linear a partir de sua representação matricial.
Conhecimentos prévios
- Conceito e representação de matrizes, Módulo 20, Aula 305.
- Equações do 1º grau, Módulo 6.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula318_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra CAS, para resolver e verificar sistemas lineares.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: no sistema {x+2z=4, y-z=1, x+y=3}, a 1ª equação não tem "y" — isso significa que a matriz de coeficientes tem só 2 colunas nessa linha?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever o sistema no quadro e propor montar a matriz de coeficientes. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer de incluir o coeficiente ZERO para a variável ausente numa equação — a 1ª equação não tem y, mas isso significa coeficiente 0 para y, não a ausência de uma coluna inteira; todas as linhas da matriz precisam ter o MESMO número de colunas.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: um sistema linear vira a equação matricial AX=B, onde A é a matriz de coeficientes (uma linha por equação, uma coluna por incógnita), X é o vetor de incógnitas e B o vetor de constantes. Resolvendo a pergunta do Momento 2: a matriz correta é A=[[1,0,2],[0,1,-1],[1,1,0]] — a 1ª linha tem 0 na coluna de y (não ausência de coluna), a 2ª linha tem 0 na coluna de x.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: montar coletivamente B=[4,1,3] (vetor de constantes) para esse sistema. Em duplas: montar a forma matricial do sistema {2x+3y=5, x-y=1} (mais simples, sem variáveis ausentes): A=[[2,3],[1,-1]], X=[x,y], B=[5,1].
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: a matriz tem 3 colunas em todas as linhas — a variável ausente numa equação vira coeficiente 0 naquela posição, nunca uma coluna a menos.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Monte a matriz de coeficientes do sistema {x+2z=4, y-z=1, x+y=3}.
Gabarito: [[1,0,2],[0,1,-1],[1,1,0]].
2. Qual o vetor de constantes B desse sistema?
Gabarito: [4,1,3].
3. Monte a forma matricial de {2x+3y=5, x-y=1}.
Gabarito: A=[[2,3],[1,-1]], X=[x,y], B=[5,1].
4. Por que a variável ausente numa equação vira coeficiente 0, e não uma coluna a menos?
Gabarito: Porque todas as linhas da matriz de coeficientes precisam ter o mesmo número de colunas (uma por incógnita do sistema).
5. Encontre o erro: "a equação x+2z=4 não tem y, então a matriz de coeficientes dessa linha tem só 2 posições."
Gabarito: Errado: a linha precisa ter 3 posições (uma por incógnita do sistema), com 0 na posição de y.