Aula 319 — Classificação dos sistemas lineares
50 minObjetivo geral
Classificar sistemas lineares em compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível, reconhecendo que o número de equações e incógnitas não determina sozinho a classificação.
Objetivos específicos
- Definir sistema compatível determinado (SPD): tem exatamente uma solução.
- Definir sistema compatível indeterminado (SPI): tem infinitas soluções.
- Definir sistema incompatível (SI): não tem nenhuma solução.
- Reconhecer que um sistema com o mesmo número de equações e incógnitas pode ser SPD, SPI ou SI, dependendo das equações.
Conhecimentos prévios
- Sistemas lineares e representação matricial, Módulo 21, Aula 318.
- Função afim (retas), Módulo 13.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula319_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos, para visualizar a interseção gráfica das retas de um sistema.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: um sistema com 2 equações e 2 incógnitas sempre tem exatamente uma solução?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever três sistemas no quadro: {x+y=5,x-y=1}, {x+y=5,2x+2y=10} e {x+y=5,x+y=1}, todos com 2 equações e 2 incógnitas, e perguntar se todos têm solução única. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que "mesmo número de equações e incógnitas" garante solução única — mas as equações podem ser paralelas (sem solução) ou coincidentes (infinitas soluções), não só "concorrentes" (solução única).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: SPD tem solução única (equações "concorrentes"); SPI tem infinitas soluções (equações equivalentes/coincidentes); SI não tem solução (equações contraditórias/paralelas distintas). Resolvendo a pergunta do Momento 2: {x+y=5,x-y=1} é SPD (x=3,y=2); {x+y=5,2x+2y=10} é SPI (a 2ª equação é só a 1ª multiplicada por 2); {x+y=5,x+y=1} é SI (mesma soma não pode dar dois valores diferentes).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que, em {x+y=5,2x+2y=10}, qualquer par (x,y) com x+y=5 satisfaz as duas equações (ex.: x=1,y=4 ou x=0,y=5). Em duplas: verificar que, em {x+y=5,x+y=1}, nenhum par (x,y) pode satisfazer as duas ao mesmo tempo.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — um sistema 2×2 pode ser SPD, SPI ou SI; o número de equações e incógnitas não garante nada sozinho, é preciso analisar as equações.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Classifique o sistema {x+y=5, x-y=1}.
Gabarito: SPD (compatível determinado) — solução única x=3, y=2.
2. Classifique o sistema {x+y=5, 2x+2y=10}.
Gabarito: SPI (compatível indeterminado) — a 2ª equação é múltipla da 1ª, infinitas soluções.
3. Classifique o sistema {x+y=5, x+y=1}.
Gabarito: SI (incompatível) — as duas equações são contraditórias, nenhuma solução.
4. Um sistema com 2 equações e 2 incógnitas garante solução única?
Gabarito: Não — depende das equações; pode ser SPD, SPI ou SI.
5. Encontre o erro: "todo sistema com o mesmo número de equações e incógnitas tem solução única."
Gabarito: Errado: as equações podem ser paralelas (SI) ou coincidentes (SPI), não garantindo solução única.