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Aula 325 — Interpretação geométrica de sistemas lineares

50 min
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Objetivo geral

Interpretar geometricamente sistemas lineares 2×2 como retas no plano, diferenciando retas paralelas (SI) de retas coincidentes (SPI) pelo termo independente.

Objetivos específicos

  • Associar cada equação de um sistema 2×2 a uma reta no plano cartesiano.
  • Interpretar SPD como retas concorrentes (um único ponto de interseção).
  • Interpretar SPI como retas coincidentes (infinitos pontos em comum) e SI como retas paralelas distintas (nenhum ponto em comum).
  • Diferenciar retas paralelas de coincidentes comparando também o termo independente, não só o coeficiente angular.

Conhecimentos prévios

  • Classificação dos sistemas lineares, Módulo 21, Aula 319.
  • Função afim e coeficiente angular, Módulo 13.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula325_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Desmos, para visualizar a interseção gráfica das retas de um sistema.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: as retas de {x+y=5, x+y=1} e de {x+y=5, 2x+2y=10} têm o mesmo coeficiente angular. Isso significa que os dois sistemas são do mesmo tipo?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever as duas retas de cada sistema na forma y=mx+b e comparar os coeficientes angulares (ambos iguais nos dois sistemas). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): comparar só o coeficiente angular (inclinação) das retas para concluir se são paralelas ou coincidentes — mas duas retas com o MESMO coeficiente angular podem ser paralelas distintas (SI) OU coincidentes (SPI); é o termo independente que diferencia os dois casos.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: SPD = retas concorrentes (coeficientes angulares diferentes, um ponto de interseção); SPI = retas coincidentes (mesmo coeficiente angular E mesmo termo independente — são a MESMA reta); SI = retas paralelas distintas (mesmo coeficiente angular, termo independente DIFERENTE). Resolvendo a pergunta do Momento 2: em {x+y=5,x+y=1}, as retas y=-x+5 e y=-x+1 têm o mesmo coeficiente angular (-1) mas termos independentes diferentes (5 e 1) — são paralelas distintas, SI. Em {x+y=5,2x+2y=10}, a 2ª equação simplifica para y=-x+5, a MESMA reta da 1ª — coincidentes, SPI.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: verificar coletivamente que {x+y=5,x-y=1} tem retas com coeficientes angulares diferentes (-1 e 1) — concorrentes, cruzando no ponto (3,2), SPD. Em duplas: esboçar as três situações (concorrentes, paralelas, coincidentes) no papel, identificando visualmente cada tipo de sistema.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — mesmo coeficiente angular não garante o mesmo tipo; é o termo independente que diferencia retas paralelas (SI) de coincidentes (SPI).

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Qual a interpretação geométrica de um sistema SPD (2×2)?

Gabarito: Duas retas concorrentes, que se cruzam num único ponto.

2. Qual a interpretação geométrica de um sistema SPI (2×2)?

Gabarito: Duas retas coincidentes (a mesma reta), com infinitos pontos em comum.

3. Qual a interpretação geométrica de um sistema SI (2×2)?

Gabarito: Duas retas paralelas distintas, sem nenhum ponto em comum.

4. Duas retas com o mesmo coeficiente angular são sempre paralelas distintas (SI)?

Gabarito: Não — podem ser coincidentes (SPI) se também tiverem o mesmo termo independente.

5. Encontre o erro: "se duas retas têm o mesmo coeficiente angular, o sistema é sempre incompatível."

Gabarito: Errado: mesmo coeficiente angular pode indicar SI (paralelas distintas) OU SPI (coincidentes) — depende do termo independente.

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