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Aula 324 — Regra de Cramer

50 min
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Objetivo geral

Aplicar a Regra de Cramer para resolver sistemas lineares, reconhecendo que ela exige determinante da matriz de coeficientes diferente de zero.

Objetivos específicos

  • Enunciar a Regra de Cramer: xi=det(Ai)/det(A), onde Ai substitui a coluna i pelos termos independentes.
  • Aplicar a Regra de Cramer para resolver um sistema 2×2.
  • Reconhecer que a Regra de Cramer exige det(A)≠0, não podendo ser aplicada quando o determinante é zero.
  • Relacionar det(A)=0 aos sistemas SPI ou SI (Aulas 321-322), que exigem outro método para serem diferenciados.

Conhecimentos prévios

  • Determinante de matriz de ordem 2, Módulo 20, Aula 313.
  • Sistemas lineares e representação matricial, Módulo 21, Aula 318.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula324_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra CAS, para resolver e verificar sistemas lineares.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: dá pra usar a Regra de Cramer para resolver o sistema {x+y=5, 2x+2y=10}?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever a matriz de coeficientes desse sistema e propor calcular seu determinante antes de aplicar Cramer. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar aplicar a fórmula de Cramer (dividir por det(A)) sem antes verificar se det(A) é diferente de zero — nesse sistema, det(A)=1×2-1×2=0, o que tornaria a divisão indefinida.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: Cramer calcula xi=det(Ai)/det(A), EXIGINDO det(A)≠0. Resolvendo a pergunta do Momento 2: para {x+y=5,2x+2y=10}, det(A)=1×2-1×2=0 — Cramer NÃO pode ser aplicada (divisão por zero); esse sistema é SPI (Aula 321), identificado por outro método (escalonamento), não por Cramer.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: aplicar coletivamente Cramer ao sistema {2x+3y=5, x-y=1} (det(A)=2×(-1)-3×1=-5≠0): x=det([[5,3],[1,-1]])/(-5)=(-8)/(-5)=8/5; y=det([[2,5],[1,1]])/(-5)=(-3)/(-5)=3/5. Em duplas: aplicar Cramer a {x+y=5,x-y=1} (det(A)=-2): x=det([[5,1],[1,-1]])/(-2)=3; y=det([[1,5],[1,1]])/(-2)=2.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — det(A)=0 nesse sistema, então Cramer não pode ser aplicada; é preciso outro método (escalonamento) para descobrir se é SPI ou SI.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Para {2x+3y=5, x-y=1}, calcule det(A).

Gabarito: det(A)=2×(-1)-3×1=-2-3=-5.

2. Usando Cramer, calcule x para esse sistema.

Gabarito: x=det([[5,3],[1,-1]])/(-5)=(-8)/(-5)=8/5.

3. Usando Cramer, calcule y para esse sistema.

Gabarito: y=det([[2,5],[1,1]])/(-5)=(-3)/(-5)=3/5.

4. Por que Cramer não pode ser aplicada a {x+y=5, 2x+2y=10}?

Gabarito: Porque det(A)=1×2-1×2=0, e a fórmula de Cramer exige dividir por det(A), o que seria uma divisão por zero.

5. Encontre o erro: "a Regra de Cramer pode ser aplicada a qualquer sistema linear quadrado."

Gabarito: Errado: só pode ser aplicada quando det(A)≠0; se for zero, é preciso outro método para classificar o sistema.

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