Aula 342 — Relações métricas no triângulo retângulo
50 minObjetivo geral
Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo (relativas à altura e às projeções), reconhecendo qual fórmula usar em cada situação.
Objetivos específicos
- Identificar os elementos do triângulo retângulo com a altura relativa à hipotenusa: catetos, hipotenusa, altura e projeções.
- Enunciar as relações métricas: h2=m×n, cateto2=hipotenusa×projeção correspondente.
- Calcular a altura e as projeções de um triângulo retângulo a partir dos catetos e da hipotenusa.
- Reconhecer qual relação métrica usar dependendo dos dados disponíveis no problema.
Conhecimentos prévios
- Teorema de Pitágoras, Módulo 22, Aula 341.
- Semelhança de triângulos, Módulo 22, Aula 339.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula342_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra Geometry, para construir e manipular as figuras geométricas da aula.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: num triângulo retângulo de catetos 3 e 4 (hipotenusa 5), a altura relativa à hipotenusa é a média simples dos catetos, (3+4)/2=3,5?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever esse cálculo no quadro e perguntar se está certo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): usar uma média simples (ou qualquer fórmula "intuitiva") no lugar das relações métricas corretas, que vêm da semelhança de triângulos formada pela altura relativa à hipotenusa.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a altura relativa à hipotenusa satisfaz h2=m×n (produto das projeções); cada cateto satisfaz cateto2=hipotenusa×projeção correspondente. Resolvendo a pergunta do Momento 2: h=(cateto1×cateto2)/hipotenusa=(3×4)/5=2,4, não 3,5 (a média simples está errada — a fórmula certa vem da área do triângulo calculada de duas formas).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente as projeções m e n desse triângulo: m=32/5=1,8 (projeção do cateto 3), n=42/5=3,2 (projeção do cateto 4), conferindo que m+n=1,8+3,2=5=hipotenusa. Em duplas: verificar que h2=m×n: 2,42=5,76 e 1,8×3,2=5,76 — confere.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a altura é 2,4 (calculada por (cateto1×cateto2)/hipotenusa), não a média simples dos catetos (3,5).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 e 4 (hipotenusa 5).
Gabarito: h=(3×4)/5=2,4.
2. Calcule a projeção do cateto 3 sobre a hipotenusa.
Gabarito: m=32/5=1,8.
3. Calcule a projeção do cateto 4 sobre a hipotenusa.
Gabarito: n=42/5=3,2.
4. Verifique que h2=m×n para os valores encontrados.
Gabarito: 2,42=5,76; 1,8×3,2=5,76 — confere.
5. Encontre o erro: "a altura relativa à hipotenusa é a média simples dos catetos: (3+4)/2=3,5."
Gabarito: Errado: a altura se calcula por (cateto1×cateto2)/hipotenusa=2,4, não pela média simples.