Aula 359 — Paralelismo no espaço
50 minObjetivo geral
Aplicar o teorema do paralelismo entre reta e plano (reta paralela a uma reta do plano, não contida nele, é paralela ao plano).
Objetivos específicos
- Enunciar o teorema: se uma reta r é paralela a uma reta s contida num plano α, e r não está contida em α, então r é paralela a α.
- Identificar quando uma reta paralela a UMA reta do plano ainda assim está contida nele (caso em que o teorema não se aplica).
- Aplicar o teorema para justificar paralelismo entre reta e plano em exemplos concretos.
- Reconhecer o paralelismo entre planos como consequência de retas concorrentes paralelas a outro plano.
Conhecimentos prévios
- Posições relativas entre reta e plano, Aula 357.
- Posições relativas entre retas no espaço, Aula 356.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula359_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular os sólidos em 3D.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se uma reta r é paralela a uma reta s que está dentro de um plano α, então r é sempre paralela ao plano α inteiro?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoDesenhar no GeoGebra 3D uma reta r paralela a uma reta s do plano α, mas com r desenhada DENTRO do próprio plano α. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer a condição extra do teorema — ser paralela a uma reta do plano não garante ser paralela ao plano; é preciso também que a reta NÃO esteja contida nele, senão ela é parte do próprio plano, não paralela a ele.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: teorema do paralelismo — se r é paralela a s, s está contida em α, e r NÃO está contida em α, então r é paralela a α. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não necessariamente — se a reta r paralela a s também estiver dentro de α, ela está CONTIDA no plano, não paralela a ele; a condição "r não contida em α" é essencial.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: no cubo ABCDEFGH, verificar que a aresta EF é paralela à aresta AB (contida na base ABCD) e que EF não está contida na base — logo EF é paralela ao plano da base. Em duplas: verificar por que a aresta CD (também paralela a AB) NÃO se enquadra no teorema em relação ao plano da base (pois CD está contida nela).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não sempre — só quando a reta paralela à reta do plano também não estiver contida no próprio plano; caso contrário, ela é parte do plano, e não paralela a ele.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie o teorema do paralelismo entre reta e plano.
Gabarito: Se uma reta r é paralela a uma reta s contida num plano α, e r não está contida em α, então r é paralela a α.
2. Por que a condição "r não contida em α" é necessária no teorema?
Gabarito: Porque, sem ela, r poderia estar dentro do próprio plano α (sendo paralela a s mas contida em α), e nesse caso r não é paralela ao plano, é parte dele.
3. No cubo ABCDEFGH, por que EF é paralela ao plano da base ABCD?
Gabarito: Porque EF é paralela à aresta AB (contida na base) e EF não está contida na base (está no plano do topo).
4. No cubo ABCDEFGH, a aresta CD (também paralela a AB) é paralela ao plano da base?
Gabarito: Não — CD está contida no próprio plano da base, então não é paralela a ele, é parte dele.
5. Encontre o erro: "toda reta paralela a uma reta de um plano é paralela ao plano."
Gabarito: Errado: falta a condição de a reta não estar contida no plano — se estiver, ela é parte do plano, não paralela a ele.