Aula 360 — Perpendicularismo no espaço
50 minObjetivo geral
Aplicar o teorema das duas retas concorrentes (reta perpendicular a duas retas concorrentes de um plano é perpendicular ao plano inteiro).
Objetivos específicos
- Definir reta perpendicular a um plano (perpendicular a TODA reta do plano que passa pelo pé da perpendicular).
- Enunciar o teorema: basta ser perpendicular a DUAS retas concorrentes do plano para ser perpendicular ao plano inteiro.
- Reconhecer que ser perpendicular a uma única reta do plano não garante perpendicularidade ao plano.
- Definir planos perpendiculares (um deles contém uma reta perpendicular ao outro).
Conhecimentos prévios
- Paralelismo no espaço, Aula 359.
- Ângulo reto e perpendicularismo no plano, Módulo 22.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula360_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular os sólidos em 3D.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se uma reta é perpendicular a UMA reta de um plano, ela já é perpendicular ao plano inteiro?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoMostrar no GeoGebra 3D uma reta vertical perpendicular a uma única reta desenhada num plano inclinado, mas não perpendicular a outras retas do mesmo plano. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que perpendicularidade a UMA reta do plano já garante perpendicularidade ao plano inteiro — é preciso ser perpendicular a DUAS retas CONCORRENTES do plano (não apenas uma) para garantir perpendicularidade a todas as infinitas retas do plano.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: uma reta r é perpendicular a um plano α quando é perpendicular a TODA reta de α que passa pelo pé da perpendicular. Teorema das duas retas concorrentes: basta verificar perpendicularidade a DUAS retas concorrentes do plano para garantir a perpendicularidade ao plano inteiro. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — perpendicular a uma única reta do plano não é suficiente; são necessárias duas retas concorrentes.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: no cubo ABCDEFGH, verificar que a aresta vertical AE é perpendicular às arestas AB e AD (concorrentes em A, ambas na base) — logo AE é perpendicular ao plano da base inteiro. Em duplas: identificar duas retas concorrentes na face lateral ABFE que confirmam a perpendicularidade dessa face ao plano da base.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — é preciso ser perpendicular a duas retas concorrentes do plano (não a uma só) para garantir a perpendicularidade ao plano inteiro.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie o teorema das duas retas concorrentes para perpendicularismo entre reta e plano.
Gabarito: Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano inteiro.
2. Por que perpendicularidade a uma única reta do plano não é suficiente?
Gabarito: Porque um plano tem infinitas retas passando por um ponto; ser perpendicular a apenas uma não garante ser perpendicular às demais — são necessárias duas retas concorrentes.
3. No cubo ABCDEFGH, por que a aresta AE é perpendicular ao plano da base ABCD?
Gabarito: Porque AE é perpendicular a AB e a AD, duas retas concorrentes em A contidas na base.
4. O que caracteriza dois planos perpendiculares?
Gabarito: Um deles contém uma reta perpendicular ao outro plano.
5. Encontre o erro: "a reta AE é perpendicular só à aresta AB, então já é perpendicular ao plano da base."
Gabarito: Errado: é preciso perpendicularidade a DUAS retas concorrentes do plano (por exemplo AB e AD), não a uma só.