Aula 362 — Relação de Euler
50 minObjetivo geral
Aplicar a Relação de Euler (V - A + F = 2) para poliedros convexos, verificando-a em exemplos e usando-a para encontrar um elemento desconhecido.
Objetivos específicos
- Enunciar a Relação de Euler: V - A + F = 2, válida para poliedros convexos.
- Verificar a relação em exemplos concretos (cubo, tetraedro, octaedro).
- Usar a relação para calcular um elemento desconhecido (V, A ou F) a partir dos outros dois.
- Reconhecer que a relação vale apenas para poliedros convexos (ou, mais precisamente, sem "buracos").
Conhecimentos prévios
- Poliedros convexos, Aula 361.
- Equações do 1º grau, Módulo 6.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula362_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular os sólidos em 3D.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: existe alguma relação fixa entre o número de vértices, arestas e faces de QUALQUER poliedro convexo?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro V=8, A=12, F=6 (cubo) e perguntar se há um padrão. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar achar o padrão só por tentativa numérica, sem perceber que a relação envolve subtração (V - A + F), não soma simples — testando V+A+F=26 para o cubo não bate com outros poliedros, é preciso a combinação certa.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a Relação de Euler afirma que, em todo poliedro CONVEXO, V - A + F = 2. Verificando: cubo (8-12+6=2), tetraedro (4-6+4=2), octaedro (6-12+8=2). Resolvendo a pergunta do Momento 2: sim — a relação correta é V - A + F = 2 (subtração das arestas, não soma), válida para qualquer poliedro convexo.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: um poliedro convexo tem V=10 vértices e F=7 faces; calcular coletivamente A usando 10-A+7=2, logo A=15. Em duplas: um poliedro convexo tem A=9 arestas e F=5 faces; calcular V usando V-9+5=2, logo V=6.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim — V - A + F = 2, válida em todo poliedro convexo, permite calcular qualquer um dos três elementos a partir dos outros dois.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie a Relação de Euler.
Gabarito: V - A + F = 2, para poliedros convexos.
2. Verifique a relação para o octaedro (V=6, A=12, F=8).
Gabarito: 6-12+8=2. Confere.
3. Um poliedro convexo tem V=10 e F=7. Quantas arestas tem?
Gabarito: A=15 (de 10-A+7=2).
4. Um poliedro convexo tem A=9 e F=5. Quantos vértices tem?
Gabarito: V=6 (de V-9+5=2).
5. Encontre o erro: "a Relação de Euler é V+A+F=2."
Gabarito: Errado: a relação correta é V-A+F=2 (subtração das arestas), não soma dos três.