Aula 370 — Cones
50 minObjetivo geral
Identificar os elementos do cone (base circular, vértice, raio, altura, geratriz) e relacioná-los pelo Teorema de Pitágoras.
Objetivos específicos
- Definir cone: sólido com uma base circular e uma superfície lateral curva que se encontra num vértice (ápice).
- Nomear os elementos: raio, altura, geratriz.
- Aplicar a relação g2 = r2 + h2 (Teorema de Pitágoras) no cone reto.
- Reconhecer o cone reto como o sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um cateto.
Conhecimentos prévios
- Teorema de Pitágoras, Módulo 22, Aula 341.
- Circunferência e círculo, Módulo 22, Aula 350.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula370_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular os sólidos em 3D.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: num cone reto, existe alguma relação entre o raio, a altura e a geratriz, parecida com a de um triângulo retângulo?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoMostrar no GeoGebra 3D um cone reto "cortado" ao meio, revelando o triângulo retângulo formado pela altura, o raio e a geratriz. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): não perceber que o corte transversal de um cone reto sempre revela um triângulo retângulo (catetos h e r, hipotenusa g) — a geometria espacial do cone se resolve com uma ferramenta já conhecida da geometria plana, o Teorema de Pitágoras.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o cone reto é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos (esse cateto vira a altura h, o outro vira o raio r, e a hipotenusa vira a geratriz g). Por isso vale g2=r2+h2. Resolvendo a pergunta do Momento 2: sim — o corte transversal do cone reto é exatamente um triângulo retângulo com catetos h e r e hipotenusa g, logo g2=r2+h2 (Pitágoras).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para um cone reto com r=3 e h=4, calcular coletivamente g usando g2=32+42=25, logo g=5 (o mesmo trio 3-4-5 já visto na Aula 341). Em duplas: para um cone reto com r=6 e h=8, calcular g (g2=36+64=100, g=10).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim — o corte transversal do cone reto forma um triângulo retângulo (catetos h e r, hipotenusa g), então g2=r2+h2 sempre vale.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a relação entre raio, altura e geratriz de um cone reto.
Gabarito: g2 = r2 + h2.
2. Calcule a geratriz de um cone reto com r=3 e h=4.
Gabarito: g2=9+16=25, g=5.
3. Calcule a geratriz de um cone reto com r=6 e h=8.
Gabarito: g2=36+64=100, g=10.
4. Como o cone reto pode ser gerado a partir de um triângulo retângulo?
Gabarito: Girando o triângulo retângulo em torno de um dos catetos (que vira a altura), o outro cateto vira o raio e a hipotenusa vira a geratriz.
5. Encontre o erro: "num cone reto, a geratriz é igual à altura."
Gabarito: Errado: geratriz e altura só seriam iguais se o raio fosse zero; em geral g é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por h e r, sempre maior que os dois (g2=r2+h2).