Aula 371 — Área e volume do cone
50 minObjetivo geral
Calcular a área lateral, a área total e o volume de um cone reto, reconhecendo o fator 1/3 no volume (analogia com a pirâmide).
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula da área lateral do cone: Alateral = πrg.
- Enunciar a fórmula da área total do cone: Atotal = πr(r+g).
- Enunciar a fórmula do volume do cone: V = (1/3)πr2h.
- Reconhecer o cone como o "análogo circular" da pirâmide (mesmo fator 1/3 em relação ao cilindro).
Conhecimentos prévios
- Cones, Aula 370.
- Área e volume da pirâmide, Aula 369.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula371_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular os sólidos em 3D.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: por que o volume do cone tem o mesmo fator 1/3 que o volume da pirâmide?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro lado a lado Vpirâmide=(1/3)Abase×h e Vcone=(1/3)πr2h e perguntar se é coincidência. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que é coincidência numérica — na verdade o cone é o "análogo circular" da pirâmide (base circular em vez de poligonal), e a mesma razão 1/3 entre o sólido "pontudo" e o cilindro/prisma correspondente de mesma base e altura se aplica igualmente aos dois.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: Alateral=πrg (setor circular "desenrolado"); Atotal=πr(r+g); V=(1/3)πr2h — exatamente 1/3 do volume do cilindro de mesma base e altura, pela mesma razão geométrica que faz a pirâmide ter 1/3 do volume do prisma correspondente. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não é coincidência — cone está para cilindro assim como pirâmide está para prisma, e a demonstração geométrica (por integração ou por empilhamento) é a mesma em ambos os casos, só trocando a base poligonal pela circular.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para um cone reto com r=3, h=4, g=5 (mesmo trio da Aula 370), calcular coletivamente Alateral=π×3×5=15π e V=(1/3)×π×9×4=12π. Em duplas: calcular Atotal=π×3×(3+5)=24π e comparar com o volume do cilindro de mesma base e altura (π×9×4=36π), confirmando que 12π é exatamente 1/3 de 36π.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não é coincidência — o cone é o análogo circular da pirâmide, e a razão 1/3 entre o sólido "pontudo" e o prisma/cilindro correspondente vale para os dois pela mesma construção geométrica.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule a área lateral de um cone reto com r=3 e g=5.
Gabarito: Alateral=π×3×5=15π.
2. Calcule a área total desse mesmo cone.
Gabarito: Atotal=π×3×(3+5)=24π.
3. Calcule o volume desse mesmo cone (h=4).
Gabarito: V=(1/3)×π×32×4=12π.
4. Qual o volume do cilindro de mesma base e altura desse cone, e que razão ele tem com o volume do cone?
Gabarito: Vcilindro=π×9×4=36π; o cone tem exatamente 1/3 desse volume (12π é 1/3 de 36π).
5. Encontre o erro: "o fator 1/3 no volume do cone é uma coincidência numérica, sem relação com a pirâmide."
Gabarito: Errado: o cone é o análogo circular da pirâmide (base circular em vez de poligonal), e a mesma razão 1/3 vale para os dois em relação ao cilindro/prisma correspondente.