Aula 379 — Tangente no triângulo retângulo
50 minObjetivo geral
Calcular a tangente de um ângulo agudo como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, reconhecendo tan(A)=sen(A)/cos(A).
Objetivos específicos
- Definir tangente: tan(A) = cateto oposto a A / cateto adjacente a A.
- Reconhecer que tan(A) = sen(A) / cos(A), diferente de seno e cosseno (que sempre usam a hipotenusa).
- Calcular a tangente de um ângulo agudo dado o triângulo retângulo.
- Usar a tangente para encontrar um lado desconhecido do triângulo.
Conhecimentos prévios
- Cosseno no triângulo retângulo, Aula 378.
- Seno no triângulo retângulo, Aula 377.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula379_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra (círculo trigonométrico), para visualizar ângulos e razões.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a tangente, assim como seno e cosseno, também usa a hipotenusa na fórmula?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro as três razões lado a lado (com a fórmula da tangente em branco) e perguntar qual lado completa a tangente. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): assumir que toda razão trigonométrica usa a hipotenusa, por analogia com seno e cosseno — a tangente é a única das três que NÃO usa a hipotenusa, relacionando só os dois catetos.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: tan(A) = cateto oposto a A / cateto adjacente a A — sem hipotenusa na fórmula. Também vale tan(A)=sen(A)/cos(A) (dividindo as duas fórmulas anteriores, a hipotenusa se cancela). No triângulo 3-4-5, tan(A)=3/4=0,75. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a tangente relaciona só os dois catetos, sem envolver a hipotenusa.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente tan(A) para o triângulo 3-4-5 (0,75) e conferir que sen(A)/cos(A)=0,6/0,8=0,75 também. Em duplas: um triângulo retângulo tem cateto adjacente 5 e tan(A)=2 para um ângulo A; calcular o cateto oposto (oposto=tan(A)×adjacente=2×5=10).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a tangente é a única das três razões que não usa a hipotenusa, relacionando só oposto e adjacente.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a fórmula da tangente de um ângulo agudo.
Gabarito: tan(A) = cateto oposto a A / cateto adjacente a A.
2. Como a tangente se relaciona com seno e cosseno?
Gabarito: tan(A) = sen(A) / cos(A).
3. Num triângulo retângulo 3-4-5, qual a tangente do ângulo oposto ao lado 3?
Gabarito: tan=3/4=0,75.
4. Um triângulo retângulo tem cateto adjacente 5 e tan(A)=2. Qual o cateto oposto?
Gabarito: Oposto = 2×5 = 10.
5. Encontre o erro: "a tangente também usa a hipotenusa, como seno e cosseno."
Gabarito: Errado: a tangente relaciona só os dois catetos (oposto/adjacente), sem usar a hipotenusa.